已知函数 $f\left( x \right)=f\left( 398-x \right)=f\left( 2158-x \right)=f\left( 3214-x \right)$ 对于所有实数 $x$ 均成立，函数值列 $f\left( 0 \right)$，$f\left( 1 \right)$，$f\left( 2 \right)$，…，$f\left( 999 \right)$ 中最多有多少个不同的值？
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
177
【解析】
由 $f\left( 398-x \right)=f\left( 2158-x \right)$ 得 $f\left( x\right)=f\left( x+1760 \right)$．
由 $f\left( 2158-x\right)=f\left( 3214-x \right)$ 得，$f\left( x \right)=f\left( x+1056 \right)$．
故有 $f\left( x\right)=f\left( x+1056 \right)=f\left( x+2112 \right)=f\left( x+352 \right)$．
从而 $f\left( x \right)$ 为周期函数，且它的一个周期为352．
又由于 $f\left( x\right)=f\left( 398-x \right)$，故 $f\left( x \right)$ 关于 $x=199$ 对称．于是当 $f$ 在 $x\in \left[ 23 199 \right]$ 定义后，由 $f\left( x\right)$ 的对称性知 $x\in \left[ 199 375 \right]$ 时，$f$ 亦可定义；再由 $f\left(x \right)$ 的周期性知对任意 $x\in \mathbf{R}$，$f$ 可定义．故在一个周期内，每一个函数值至少对应两个不同的 $x$，其中 $x\ne 199+352k\left( k\in \mathbf{Z} \right)$．因此，$f\left(0 \right)$，$f\left( 1 \right)$，$\cdots$，$f\left( 999 \right)$ 至多有 $\frac{1}{2}\cdot 352+1=177$ 个不同的值，且当 $f\left( 23\right)$，$f\left( 24 \right)$，$\cdots$，$f\left( 199 \right)$ 两两不等时，177可以取到．
因此，所求的最大值为177．
由 $f\left( 2158-x\right)=f\left( 3214-x \right)$ 得，$f\left( x \right)=f\left( x+1056 \right)$．
故有 $f\left( x\right)=f\left( x+1056 \right)=f\left( x+2112 \right)=f\left( x+352 \right)$．
从而 $f\left( x \right)$ 为周期函数，且它的一个周期为352．
又由于 $f\left( x\right)=f\left( 398-x \right)$，故 $f\left( x \right)$ 关于 $x=199$ 对称．于是当 $f$ 在 $x\in \left[ 23 199 \right]$ 定义后，由 $f\left( x\right)$ 的对称性知 $x\in \left[ 199 375 \right]$ 时，$f$ 亦可定义；再由 $f\left(x \right)$ 的周期性知对任意 $x\in \mathbf{R}$，$f$ 可定义．故在一个周期内，每一个函数值至少对应两个不同的 $x$，其中 $x\ne 199+352k\left( k\in \mathbf{Z} \right)$．因此，$f\left(0 \right)$，$f\left( 1 \right)$，$\cdots$，$f\left( 999 \right)$ 至多有 $\frac{1}{2}\cdot 352+1=177$ 个不同的值，且当 $f\left( 23\right)$，$f\left( 24 \right)$，$\cdots$，$f\left( 199 \right)$ 两两不等时，177可以取到．
因此，所求的最大值为177．
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