若三个正数 $x$，$y$，$z$ 满足方程组 $xyz=1$，$x+\frac{1}{z}=5$，及 $y+\frac{1}{x}=29$，则有 $z+\frac{1}{y}=\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
5
【解析】
注意到
$5\cdot 29\cdot\frac{m}{n}=\left( x+\frac{1}{z} \right)\left( y+\frac{1}{x} \right)\left(z+\frac{1}{y} \right)$
$=xyz+x+\frac{1}{z}+y+\frac{1}{x}+z+\frac{1}{y}+\frac{1}{xyz}$
$=1+5+29+\frac{m}{n}+1$．
于是有 $144\cdot\frac{m}{n}=36$，即 $\frac{m}{n}=\frac{1}{4}$，故 $m+n=5$．
$5\cdot 29\cdot\frac{m}{n}=\left( x+\frac{1}{z} \right)\left( y+\frac{1}{x} \right)\left(z+\frac{1}{y} \right)$
$=xyz+x+\frac{1}{z}+y+\frac{1}{x}+z+\frac{1}{y}+\frac{1}{xyz}$
$=1+5+29+\frac{m}{n}+1$．
于是有 $144\cdot\frac{m}{n}=36$，即 $\frac{m}{n}=\frac{1}{4}$，故 $m+n=5$．
答案
解析
备注
