设函数 $f$ 具有如下性质：$f\left( 3x \right)=3f\left( x \right)$，对于所有正实数 $x$ 均成立，且 $f\left( x \right)=1-\left| x-2 \right|\left( 1\leqslant x\leqslant 3 \right)$．求满足 $f\left( x \right)=f\left( 2001 \right)$ 的正实数 $x$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
429
【解析】
首先计算
$f\left( 2001\right)=3f\left( \frac{2001}{3} \right)=9f\left( \frac{2001}{9} \right)=\cdots=729f\left( \frac{2001}{729} \right)=729\left( 1-\frac{543}{729} \right)=186$．
对 $1\leqslant x\leqslant 3$，$y=f\left( x\right)$ 的图像如图所示，为连接 $\left( 2 1 \right)$ 与 $\left( 1 0\right)$ 及 $\left( 3 0 \right)$ 的折线．由 $f$ 的定义知，如果 $\left(a b \right)$ 在图像上，可推出 $\left( 3a 3b \right)$ 也在图像上．故 $y=f\left( x\right)$ 的图像与 $x$ 轴的正半轴一起围成了一些三角形，每一个的三边长都是前一个的3倍．注意到两顶点为 $\left({{3}^{n}} 0 \right)$ 与 $\left( {{3}^{n+1}} 0 \right)$ 的三角形的高为 ${{3}^{n}}$，由于 $y=186$ 仅与高大于等于186的三角形上一点，由斜率为1容易算得 $x=243+186=429$．
$f\left( 2001\right)=3f\left( \frac{2001}{3} \right)=9f\left( \frac{2001}{9} \right)=\cdots=729f\left( \frac{2001}{729} \right)=729\left( 1-\frac{543}{729} \right)=186$．
对 $1\leqslant x\leqslant 3$，$y=f\left( x\right)$ 的图像如图所示，为连接 $\left( 2 1 \right)$ 与 $\left( 1 0\right)$ 及 $\left( 3 0 \right)$ 的折线．由 $f$ 的定义知，如果 $\left(a b \right)$ 在图像上，可推出 $\left( 3a 3b \right)$ 也在图像上．故 $y=f\left( x\right)$ 的图像与 $x$ 轴的正半轴一起围成了一些三角形，每一个的三边长都是前一个的3倍．注意到两顶点为 $\left({{3}^{n}} 0 \right)$ 与 $\left( {{3}^{n+1}} 0 \right)$ 的三角形的高为 ${{3}^{n}}$，由于 $y=186$ 仅与高大于等于186的三角形上一点，由斜率为1容易算得 $x=243+186=429$．
答案
解析
备注
