设整数 $u$，$v$ 满足 $0<v<u$，且 $A$ 为 $\left( u, v \right)$，令 $B$ 与 $A$ 关于直线 $y=x$ 对称，$C$ 与 $B$ 关于 $y$ 轴对称，$D$ 与 $C$ 关于 $x$ 轴对称，$E$ 与 $D$ 关于 $y$ 轴对称．且五边形 $ABCDE$ 的面积为451，求 $u+v$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
21
【解析】
如图所示，由题意，$B$，$C$，$D$，$E$ 的坐标分别为 $\left( v ,u \right)$，$\left( -v ,u\right)$，$\left( -v, -u \right)$，$\left( v ,-u\right)$，从而
$451={{S}_{ABCDE}}={{S}_{BCDE}}+{{S}_{\vartriangle ABE}}$
$=2u\cdot 2v+\frac{1}{2}\cdot 2u\left( u-v \right)$
$={{u}^{2}}+3uv$．
故 $u\left(u+3v \right)=451$，又 $u v\in \mathbf{N}$ 且 $v<u$，故 $u=11$，$v=10$，因此 $u+v=11+10=21$．
$451={{S}_{ABCDE}}={{S}_{BCDE}}+{{S}_{\vartriangle ABE}}$
$=2u\cdot 2v+\frac{1}{2}\cdot 2u\left( u-v \right)$
$={{u}^{2}}+3uv$．
故 $u\left(u+3v \right)=451$，又 $u v\in \mathbf{N}$ 且 $v<u$，故 $u=11$，$v=10$，因此 $u+v=11+10=21$．
答案
解析
备注
