平面直角坐标系中，两个坐标的值都是整数的点叫做整点．在双曲线 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{2000}^{2}}$ 上有多少个整点？
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
98
【解析】
这个问题实际上是求不定方程 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{2000}^{2}}$ 的整数解的组数．将方程化为
$\left( x+y\right)\left( x-y \right)={{2000}^{2}}$，由 $x+y$ 和 $x-y$ 的奇偶性相同知它们都是偶数．设 $x+y=2k$，$x-y=2l$，则 $kl={{1000}^{2}}={{2}^{6}}\cdot {{5}^{6}}$．由素因数个数的公式知 ${{2}^{6}}\cdot{{5}^{6}}$ 有 ${{\left( 6+1 \right)}^{2}}=49$ 个不同的正素因数，故 $k$ 共有 $49\times2=98$ 个不同的可能值．每个 $k$ 值对应唯一的 $l$ 值，再由 $x=k+l$，$y=k-l$ 可得一组 $\left( x, y \right)$ 的值，故方程 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{2000}^{2}}$ 有98组整数解，即双曲线上有98个整点．
$\left( x+y\right)\left( x-y \right)={{2000}^{2}}$，由 $x+y$ 和 $x-y$ 的奇偶性相同知它们都是偶数．设 $x+y=2k$，$x-y=2l$，则 $kl={{1000}^{2}}={{2}^{6}}\cdot {{5}^{6}}$．由素因数个数的公式知 ${{2}^{6}}\cdot{{5}^{6}}$ 有 ${{\left( 6+1 \right)}^{2}}=49$ 个不同的正素因数，故 $k$ 共有 $49\times2=98$ 个不同的可能值．每个 $k$ 值对应唯一的 $l$ 值，再由 $x=k+l$，$y=k-l$ 可得一组 $\left( x, y \right)$ 的值，故方程 ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{2000}^{2}}$ 有98组整数解，即双曲线上有98个整点．
答案
解析
备注
