数 $\frac{2}{{{\log }_{4}}{{2000}^{6}}}+\frac{3}{{{\log }_{5}}{{2000}^{6}}}$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
7
【解析】
由换底公式得
$\frac{2}{{{\log}_{4}}{{2000}^{6}}}+\frac{3}{{{\log }_{5}}{{2000}^{6}}}=2{{\log}_{{{2000}^{6}}}}4+3{{\log }_{{{2000}^{6}}}}5={{\log }_{{{2000}^{6}}}}\left({{4}^{2}}\cdot {{5}^{3}} \right)$
$={{\log}_{{{2000}^{6}}}}2000=\frac{1}{6}$．
因此 $m=1$，$n=6$．故所求答案为 $1+6=7$．
$\frac{2}{{{\log}_{4}}{{2000}^{6}}}+\frac{3}{{{\log }_{5}}{{2000}^{6}}}=2{{\log}_{{{2000}^{6}}}}4+3{{\log }_{{{2000}^{6}}}}5={{\log }_{{{2000}^{6}}}}\left({{4}^{2}}\cdot {{5}^{3}} \right)$
$={{\log}_{{{2000}^{6}}}}2000=\frac{1}{6}$．
因此 $m=1$，$n=6$．故所求答案为 $1+6=7$．
答案
解析
备注
