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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15725 59098ec738b6b400091effcf 高中 解答题 高中习题 证明排序不等式：若 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_n$ 且 $b_1\leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n$，$b_1',b_2',\cdots ,b_n'$ 是 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 的一个排列，则$$a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\geqslant a_1b_1'+a_2b_2'+\cdots +a_nb_n'.$$ 2022-04-17 19:23:16
15707 590ac7036cddca00078f393d 高中 解答题 高中习题 求 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\arctan\dfrac{1}{2i^2}$． 2022-04-17 19:12:16
15705 590acfa06cddca00092f7012 高中 解答题 高中习题 已知曲线 $C_n:x^2-2nx+y^2=0$（$n=1,2,\cdots $）．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$（$k_n>0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$． 2022-04-17 19:11:16
15694 590bd0286cddca00078f3a5d 高中 解答题 自招竞赛 证明：若 $n$ 为不小于 $2$ 的自然数，$t$ 为实数且 $\sin\dfrac{t}{2}\neq 0$，则\[\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\dfrac{nt}2}{\sin\dfrac t2}\right)^2.\] 2022-04-17 19:05:16
15686 590be1ff6cddca000861104e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbb N^*,$$且 $x_1=3$，求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:00:16
15656 59101e99857b4200092b0824 高中 解答题 自招竞赛 如图，${P_1}({x_1},{y_1})$，${P_2}({x_2},{y_2})$，$ \cdots $，${P_n}({x_n},{y_n})$，$(0 < {y_1} < {y_2} <\cdots< {y_n},n \in {\mathbb N^ * })$ 是曲线 $C:{y^2} = 3x (y \geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i({a_i},0) (i = 1,2,3, \cdots ,n)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\Delta {A_{i - 1}}{A_i}{P_i}$ 是正三角形（${A_0}$ 是坐标原点）． 2022-04-17 19:43:15
15655 5910284d40fdc7000a51cf49 高中 解答题 自招竞赛 若 $x,y$ 满足 ${x^2}-2xy+{y^2}-\sqrt3x-\sqrt3y+12=0$． 2022-04-17 19:42:15
15644 591186cde020e7000878f6ad 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_n} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}$，求 ${S_{2003}}$． 2022-04-17 19:35:15
15639 59126b13e020e700094b0ab7 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( x \right) = \left( {1 + a} \right){x^4} + {x^3} - \left( {3a + 2} \right){x^2} - 4a$，试证明对任意实数 $a$： 2022-04-17 19:33:15
15635 59127575e020e700094b0b6d 高中 解答题 自招竞赛 试利用三角函数求函数 $f(x) = 4 - 2{x^2} + x\sqrt {1 - {x^2}} $ 的最大值与最小值． 2022-04-17 19:31:15
15608 5912b490e020e700094b0d26 高中 解答题 自招竞赛 请找出一个整系数多项式方程 $f\left(x \right)$ $=0 $，使得 $ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是其一个根． 2022-04-17 19:13:15
15582 59362900c2b4e70007c9403c 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，三边长为 $a,b,c$，求证：$$4b^3c^3\geqslant (b+c)^2(-a+b+c)^2(a-b+c)(a+b-c).$$ 2022-04-17 19:59:14
15578 5940b356c8f8b90008902105 高中 解答题 高中习题 已知 $2x+y=1$，求 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最值． 2022-04-17 19:56:14
15403 597ed2f8d05b9000091652c0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_0}=\dfrac{1}{2}$，${a_n}={a_{n-1}}+\dfrac{1}{{{n^2}}} \cdot a_{n-1}^2$，求证：$\dfrac{{n+1}}{{n+2}}<{a_n}<n$． 2022-04-17 19:21:13
15316 59ba35d398483e0009c730fe 高中 解答题 高中习题 已知 $a_0=\dfrac 12$，$a_k=a_{k-1}+\dfrac 1na_{k-1}^2$（$k=1,2,\cdots,n$），求证：$1-\dfrac 1n<a_n<1$． 2022-04-17 19:33:12
15313 59ba41b698483e000a5244cb 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$（$n\in\mathbb N$）． 2022-04-17 19:32:12
15304 59bbd59b8b403a0008ec5f76 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$5+\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$． 2022-04-17 19:27:12
15292 5a24c558f25ac10009ad6e45 高中 解答题 自招竞赛 将实数 $(3+2\sqrt 2)^{2017}$ 写成小数形式，求它的十分位数字． 2022-04-17 19:22:12
15275 5a71f87f9bb0f20008eafd11 高中 解答题 自招竞赛 请找出一个整系数多项式方程 $f\left(x \right)$ $=0 $，使得 $ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是其一个根． 2022-04-17 19:13:12
15267 5c6a44a9210b281dbaa93367 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{x}_{1}}=97$，对于 $n>1$，令 ${{x}_{n}}=\frac{n}{{{x}_{n-1}}}$，求连乘积 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\cdots {{x}_{8}}$． 2022-04-17 19:09:12
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