已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$（$n\in\mathbb N$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：对任意正整数 $n$，均有 $a_{n+1}<a_n$；标注答案略解析显然 $a_n\ne 0$（$n\in\mathbb N$）且 $a_n>0$，进而\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1}{1+a_n^2}<1,\]不等式得证．
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求证：对任意正整数 $n$，均有 $a_n<\dfrac 3{4\sqrt n}$；标注答案略解析考虑到\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=a_n+\dfrac{1}{a_{n}},\]于是\[\dfrac{1}{a_{n+1}^2}=\dfrac{1}{a_n^2}+2+a_n^2,\]因此\[\dfrac{1}{a_n^2}=2(n-1)+\dfrac{1}{a_1^2}+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{n-1}^2\geqslant 2n+2,\]因此\[a_n\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}}<\dfrac 3{4\sqrt n}.\]
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求证：$a_0+a_1+\cdots+a_n\geqslant \sqrt{2n+4}-1$．标注答案略解析根据题意，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n}+a_n,\]于是\[a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n},\]因此\[a_0+a_1+\cdots+a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_0}=\dfrac{1}{a_{n+1}}-1\geqslant \sqrt{2n+4}-1.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
