已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_n} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}$，求 ${S_{2003}}$．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{1 + \sqrt {2003} - \sqrt {2004} }}{2}$
【解析】
因为\[\begin{split}{a_n} &= \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}\\& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt {n - 1} }}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}\\& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n - \sqrt n - \sqrt {n - 1} }}{{\left( {\sqrt {n - 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}}\\& = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }}} \right),\end{split}\]所以$${S_{2003}} = \dfrac{{1 + \sqrt {2003} - \sqrt {2004} }}{2}.$$
答案
解析
备注
