已知曲线 $C_n:x^2-2nx+y^2=0$（$n=1,2,\cdots $）．从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$（$k_n>0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 的通项公式；标注答案$\begin{cases} x_n=\dfrac{n}{n+1},\\ y_n=\dfrac{n}{n+1}\cdot \sqrt{2n+1},\end{cases}$解析根据题意，曲线 $C_n$ 即 $(x-n)^2+y^2=n^2$，表示以 $(n,0)$ 为圆心，$n$ 为半径的圆．点 $P(-1,0)$ 对应的切点弦方程为$$(-1-n)(x-n)=n^2,$$不难求出$$\begin{cases} x_n=\dfrac{n}{n+1},\\ y_n=\dfrac{n}{n+1}\cdot \sqrt{2n+1},\end{cases}$$其中 $n\in\mathbb N^*$．
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证明：$x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2n-1}<\sqrt{\dfrac{1-x_n}{1+x_n}}<\sqrt 2\sin\dfrac{x_n}{y_n}$．标注答案略解析根据第 $(1)$ 小题的结果，欲证明的不等式即$$\dfrac 12\cdot \dfrac 34\cdot\dfrac 56\cdots \dfrac{2n-1}{2n}<\sqrt{\dfrac{1}{2n+1}}<\sqrt 2 \sin\dfrac{1}{\sqrt {2n+1}}.$$
左边不等式 由于$$\dfrac 12\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 56\cdots \dfrac{2n-1}{2n}<\dfrac 23\cdot\dfrac 45\cdot\dfrac 67\cdots \dfrac{2n}{2n+1},$$于是$$\left(\dfrac 12\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 56\cdots \dfrac{2n-1}{2n}\right)^2<\dfrac 12\cdot \dfrac 23\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 45\cdot \dfrac 56\cdot \dfrac 67\cdots \dfrac{2n-1}{2n}\cdot \dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac{1}{2n+1},$$左边不等式得证．右边不等式 考虑函数 $\varphi(x)=\sqrt 2\sin x-x$，则其导函数$$\varphi'(x)=\sqrt 2\cos x-1,$$于是函数 $\varphi(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上单调递增，而$$0<\dfrac 1{\sqrt{2n+1}}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt 3}<\dfrac{\pi}4,n\in\mathbb N^*,$$于是有$$\varphi\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)>\varphi(0)=0,$$右边不等式得证．
综上所述，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
