已知 $2x+y=1$，求 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最小值为 $\dfrac 45$，不存在最大值
【解析】
设 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$r>0$，则条件转化为$$2r\cos\theta+r\sin\theta=1,$$所求代数式转化为$$r\cos\theta+r,$$于是问题转化为求代数式$$\dfrac{\cos\theta+1}{2\cos\theta+\sin\theta}$$的最值．
记该代数式为 $m$，则$$\cos\theta+1=2m\cos\theta+m\sin\theta,$$整理得$$\sqrt{m^2+(2m-1)^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)=1,$$于是$$m^2+(2m-1)^2\geqslant 1,$$解得$$m\geqslant \dfrac 45.$$容易检验得 $\dfrac 45$ 可以取到，为最小值，而不存在最大值．
记该代数式为 $m$，则$$\cos\theta+1=2m\cos\theta+m\sin\theta,$$整理得$$\sqrt{m^2+(2m-1)^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)=1,$$于是$$m^2+(2m-1)^2\geqslant 1,$$解得$$m\geqslant \dfrac 45.$$容易检验得 $\dfrac 45$ 可以取到，为最小值，而不存在最大值．
答案
解析
备注
