已知 $a_0=\dfrac 12$，$a_k=a_{k-1}+\dfrac 1na_{k-1}^2$（$k=1,2,\cdots,n$），求证：$1-\dfrac 1n<a_n<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{1}{a_{k-1}+\dfrac 1n{a_{k-1}^2}}=\dfrac{1}{a_{k-1}}-\dfrac{1}{n+a_{k-1}},\]于是\[\dfrac{1}{a_{k-1}}-\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{1}{n+a_{k-1}},\]累加可得\[\dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{n+a_0}+\dfrac{1}{n+a_1}+\cdots+\dfrac{1}{n+a_{n-1}}<1,\]于是 $a_n<1$．
容易证明数列 $\{a_n\}$ 单调递增，所以$$a_k<1,k=0,1,2,\cdots,n-1,$$进而\[\dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_n}>\dfrac{n}{n+1},\]于是 $a_n>\dfrac {n+1}{n+2}>\dfrac{n-1}{n}$，原命题得证．
容易证明数列 $\{a_n\}$ 单调递增，所以$$a_k<1,k=0,1,2,\cdots,n-1,$$进而\[\dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_n}>\dfrac{n}{n+1},\]于是 $a_n>\dfrac {n+1}{n+2}>\dfrac{n-1}{n}$，原命题得证．
答案
解析
备注
