题目 如图，${P_1}({x_1},{y_1})$，${P_2}({x_2},{y_2})$，$ \cdots $，${P_n}({x_n},{y_n})$，$(0 < {y_1} < {y_2} <\cdots< {y_n},n \in {\mathbb N^ * })$ 是曲线 $C:{y^2} = 3x (y \geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i({a_i},0) (i = 1,2,3, \cdots ,n)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\Delta {A_{i - 1}}{A_i}{P_i}$ 是正三角形（${A_0}$ 是坐标原点）．<br><img src="/static/images/02adbdb161976ced4bd214ecb8bcf961.png" class="img-responsive" /> 问题1 求 ${a_1},{a_2},{a_3}$； 答案1 $a_1=2,a_2=6,a_3=12$ 解析1 因为 $x_n=\dfrac 13y_n^2$，由题意知$$\dfrac {y_1}{\dfrac 13y_1^2}=\sqrt 3=\dfrac {y_2}{\dfrac 13y_2^2-a_1}=\dfrac {y_3}{\dfrac 13y_3^2-a_2},$$解得 $y_1=\sqrt 3$，于是 $x_1=1,a_1=2$ 代入解得 $y_2=2\sqrt 3,x_2=4,a_2=6$，再代入解得 $y_3=3\sqrt 3,x_3=9,a_3=12$．于是 $a_1=2,a_2=6,a_3=12$． 备注1 问题2 求出点 $A_n(a_n,0)(n\in\mathbb{N}^*)$ 的横坐标 $a_n$ 关于 $n$ 的表达式； 答案2 $a_n=n(n+1),n\in\mathbb N^*$ 解析2 由题意知$$\begin{cases} x_n=\dfrac 12(a_n+a_{n-1}),\\y_n=\dfrac{\sqrt 3}2(a_n-a_{n-1}),\end{cases}$$因为 $x_n=\dfrac 13y_n^2$，于是得到$$(a_n-a_{n-1})^2=2(a_n+a_{n-1}),$$由 $(1)$ 推测 $a_n=n(n+1)$，用数学归纳法证明即可． 备注2 问题3 设 $b_n=\dfrac 1{a_{n+1}}+\dfrac 1{a_{n+2}}+\cdots+\dfrac 1{a_{2n}}$，若对任意正整数 $n$ 及 $x \in \left( {0 , 2} \right]$，不等式 $\left| {\dfrac{1}{2}{x^3} - ax} \right| \leqslant \dfrac{7}{6} - {b_n}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案3 $\left\{\dfrac 32\right\}$ 解析3 因为 $\dfrac 1{a_n}=\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}$，所以可解得$$b_n=\dfrac 1{n+1}-\dfrac 1{2n+1}=\dfrac n{2n^2+3n+1}=\dfrac 1{2n+\frac 1n+3},$$当 $n=1$ 时，$b_n$ 取到最大值 $\dfrac 16$．于是得到 $\dfrac 76-b_n$ 的最小值为 $1$，题意即$$\left|\dfrac 12x^3-ax\right|\leqslant 1$$对 $x\in[0,2]$ 恒成立．<br/>令 $x=2$ 得到 $|4-2a|\leqslant 1$，得到必要条件 $\dfrac 32\leqslant a\leqslant \dfrac 52$．<br/>令 $f(x)=\dfrac 12x^3-ax$，则 $f'(x)=\dfrac 32x^2-a=\dfrac 32\left(x^2-\dfrac 23a\right)$，由 $a\in\left[\dfrac 32,\dfrac 52\right]$ 知，$f(x)$ 的极小值点 $\sqrt{\dfrac 23a}\in[0,2]$，从而 $f(x)$ 的最小值$$f\left(\sqrt {\dfrac 23a}\right)=-\left(\sqrt{\dfrac 23a}\right)^3\in[-1,1],$$解得 $a\leqslant \dfrac 32$．<br/>综上知 $a=\dfrac 32$．因为 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上先递减再递增，所以最小值点与边界点就保证了不等式恒成立，从而 $a$ 的取值范围为 $\left\{\dfrac 32\right\}$． 备注3