请找出一个整系数多项式方程 $f\left(x \right)$ $=0 $，使得 $ \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是其一个根．
【难度】
【出处】
2009年清华大学自主招生试题
【标注】
【答案】
${{x}^{6}}-6{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-36x+1=0$
【解析】
不妨假设 $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是一个整系数方程的根．
因为$$\sqrt[3]{3}=x-\sqrt{2},$$所以$$\begin{split}3&={{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{3}}\\ &={{x}^{3}}+6x-\sqrt{2}\left( 3{{x}^{2}}+2 \right),\end{split}$$进而$$\sqrt{2}\left( 3{{x}^{2}}+2 \right)={{x}^{3}}+6x-3,$$即$$2{{\left( 3{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{3}}+6x-3 \right)}^{2}},$$整理得$${{x}^{6}}-6{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-36x+1=0.$$因此 $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是整系数方程$$f\left(x \right)= {{x}^{6}}-6{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-36x+1=0$$的根．
因为$$\sqrt[3]{3}=x-\sqrt{2},$$所以$$\begin{split}3&={{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{3}}\\ &={{x}^{3}}+6x-\sqrt{2}\left( 3{{x}^{2}}+2 \right),\end{split}$$进而$$\sqrt{2}\left( 3{{x}^{2}}+2 \right)={{x}^{3}}+6x-3,$$即$$2{{\left( 3{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{3}}+6x-3 \right)}^{2}},$$整理得$${{x}^{6}}-6{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-36x+1=0.$$因此 $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ 是整系数方程$$f\left(x \right)= {{x}^{6}}-6{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-36x+1=0$$的根．
答案
解析
备注
