已知数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbb N^*,$$且 $x_1=3$，求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x_n=n^2(2n+1),n\in\mathbb N^*$
【解析】
根据题意，有$$x_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{n^2}x_n+n+1,$$于是$$\dfrac{x_{n+1}}{(n+1)^2(n+2)}=\dfrac{x_n}{n^2(n+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)},$$进而可得$$\dfrac{x_{n+1}}{(n+1)^2(n+2)}+\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{x_n}{n^2(n+1)}+\dfrac{1}{n+1},$$因此$$\dfrac{x_n}{n^2(n+1)}+\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{x_{n-1}}{(n-1)^2\cdot n}+\dfrac{1}{n}=\cdots =\dfrac{x_1}{2}+\dfrac 12=2,$$所以 $x_n=n^2(2n+1),n\in\mathbb N^*$．
答案
解析
备注
