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证明：若 $n$ 为不小于 $2$ 的自然数，$t$ 为实数且 $\sin\dfrac{t}{2}\neq 0$，则\[\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\dfrac{nt}2}{\sin\dfrac t2}\right)^2.\]
【难度】
【出处】
2014年北京大学全国优秀中学生体验营数学试卷
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    三角
    >
    三角计算
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    分拆与裂项
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差化积与积化和差公式
【答案】
略
【解析】
两次裂项求和由积化和差公式知$$2\cos pt\sin\dfrac t2=\sin\left(p+\dfrac 12\right)t-\sin\left(p-\dfrac 12\right)t,$$所以$$\begin{split} \left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)\cdot\sin\dfrac t2=&\sin\dfrac t2+\sum_{p=1}^{k-1}\left[\sin\left(p+\dfrac 12\right)t-\sin\left(p-\dfrac 12\right)t\right]\\=&\sin\left(k-\dfrac 12\right)t.\end{split} $$于是所证等式左边为$$\begin{split} LHS=&\dfrac 1{\sin\dfrac t2}\cdot\sum_{k=1}^n\sin\left(k-\dfrac 12\right)t\\
=&\dfrac 1{\sin\dfrac t2}\cdot\sum_{k=1}^n{\dfrac {\sin\left(k-\dfrac 12\right)t\cdot\sin\dfrac t2}{\sin\dfrac t2}}\\
=&\dfrac{1}{2\sin^2\dfrac t2}\sum_{k=1}^n[\cos(k-1)t-\cos kt]\\
=&\dfrac 1{\sin^2\dfrac t2}(1-\cos nt)=\left(\dfrac{\sin\dfrac{nt}2}{\sin\dfrac t2}\right)^2.\end{split} $$命题得证．
答案 解析 备注
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