求 $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\arctan\dfrac{1}{2i^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}4$
【解析】
由于$$\arctan\dfrac{1}{2i^2}=\arctan\dfrac{(2i+1)-(2i-1)}{1+(2i+1)(2i-1)}=\arctan(2i+1)-\arctan(2i-1),$$于是\[\begin{split} \sum_{i=1}^{\infty}\arctan\dfrac{1}{2i^2}&=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}\left[\arctan (2i+1)-\arctan (2i-1)\right]\\
&=\lim_{n\to \infty}\left[\arctan (2n+1)-\arctan 1\right]\\
&=\lim_{n\to \infty}\arctan\dfrac{2n}{2n+2}\\
&=\dfrac{\pi}4.\end{split}\]
&=\lim_{n\to \infty}\left[\arctan (2n+1)-\arctan 1\right]\\
&=\lim_{n\to \infty}\arctan\dfrac{2n}{2n+2}\\
&=\dfrac{\pi}4.\end{split}\]
答案
解析
备注
