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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20305 5cac35c2210b28193dc2e938 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$，边 $AB$、$CD$ 的中垂线交于点 $F$，$M$、$N$ 分别为边 $AB$、$CD$ 的中点，直线 $EF$ 分别与边 $BC$、$AD$ 交于点 $P$、$Q$ 。若 $MF\cdot CD=NF\cdot AB$，$DQ\cdot BP=AQ\cdot CP$，证明：$PQ\bot BC$ 。 2022-04-17 19:33:58
20300 5cac35e5210b28193dc2e94d 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $\odot O$ 为 $\vartriangle ABC$ 的边 $BC$ 上的旁切圆，点 $D$、$E$ 分别在线段 $AB$、$AC$ 上，使得 $DE\parallel BC$，$\odot {{O}_{1}}$ 为 $\vartriangle ADE$ 的内切圆，${{O}_{1}}B$ 与 $DO$、${{O}_{1}}C$ 与 $EO$ 分别交于点 $F$、$G$，$\odot O$ 与 $BC$ 切于点 $M$，$\odot {{O}_{1}}$ 与 $DE$ 切于点 $N$ 。证明：$MN$ 平分线段 $FG$ 。 2022-04-17 19:30:58
20285 5caeb5c6210b28021fc7543e 高中 解答题 自招竞赛 圆 ${{\Gamma }_{1}}$ 和圆 ${{\Gamma }_{2}}$ 外切于点 $T$，点 $A$、$E$ 在圆 ${{\Gamma}_{1}}$ 上，$AB$ 切圆 ${{\Gamma }_{2}}$ 于点 $B$，$ED$ 切圆 ${{\Gamma}_{2}}$ 于点 $D$，直线 $BD$、$AE$ 交于点 $P$ 。
a）求证：$\frac{AB}{AT}=\frac{ED}{ET}$
b）求证：$\angle ATP+\angle ETP=180{}^\circ $		 2022-04-17 19:22:58
20282 5caeb5d6210b280220ed1bd1 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$I$ 为内切圆圆心，$D$、$E$ 分别为 $AB$、$AC$ 边上的切点，$O$ 为 $\vartriangle BIC$ 的外心。求证：$\angle ODB=\angle OEC$ 。 2022-04-17 19:21:58
20278 5caecd41210b28021fc75477 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\odot {{O}_{1}}$ $\odot {{O}_{2}}$ 交于 $A$、$B$ 两点，延长 ${{O}_{1}}A$，与 $\odot {{O}_{2}}$ 交于点 $C$，延长 ${{O}_{2}}A$ 与 $\odot {{O}_{1}}$ 交于点 $D$，过点 $B$ 作 $BE$ // ${{O}_{2}}A$，与 $\odot {{O}_{1}}$ 交于另一点 $E$ 。若 $DE$ // ${{O}_{1}}A$，证明：$DC\bot C{{O}_{2}}$ 。 2022-04-17 19:19:58
20275 5caecd7e210b28021fc7547f 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\vartriangle ABC$ 中，$AB>AC$，$D$、$E$ 分别为边 $AB$、$AC$ 的中点。 $\vartriangle ADE$ 的外接圆与 $\vartriangle BCE$ 的外接圆交于点 $P$（异于点 $E$），$\vartriangle ADE$ 的外接圆与的 $\vartriangle BCD$ 外接圆交于点 $Q$（异于点 $D$）。证明：$AP=AQ$ 。 2022-04-17 19:18:58
20273 5caed9e5210b28021fc754a5 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\vartriangle ABC$ 中，$AB>AC$，$O$ 为外心，$D$ 为边 $BC$ 的中点．
以 $AD$ 为直径作圆与边 $AB$、$AC$ 分别交于点 $E$、$F$．过 $D$ 作 $DM∥AO$ 交 $EF$ 于点 $M$．求证：$EM=MF$．		 2022-04-17 19:17:58
20271 5caeda06210b28021fc754b2 高中 解答题 自招竞赛 如图，两圆 ${{\Gamma }_{1}},{{\Gamma }_{2}}$ 外离，它们的一条外公切线与 ${{\Gamma }_{1}},{{\Gamma }_{2}}$ 分别切于点 $A,B$，一条内公切线与 ${{\Gamma }_{1}},{{\Gamma }_{2}}$ 分别切于点 $C,D$．设 $E$ 是直线 $AC,BD$ 的交点，$F$ 是 ${{\Gamma }_{1}}$ 上一点，过 $F$ 作
的切线与线段 $EF$ 的中垂线交于点 $M$，过 $M$ 作 $MG$ 切 ${{\Gamma}_{2}}$ 于点 $G$．求证：$MF=MG$．		 2022-04-17 19:17:58
19958 5ce4edb0210b28021fc765eb 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 为锐角三角形，$AB<AC$，$M$ 为 $BC$ 边的中点，点 $D$ 和 $E$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外接圆 $\overparen{BAC}$ 和 $\overparen{BC}$ 的中点，$F$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆在 $AB$ 边上的切点，$G$ 为 $AE$ 与 $BC$ 的交点，$N$ 在线段 $EF$ 上，满足 $NB\bot AB$．
证明：若 $BN=EM$，则 $DF\bot FG$．（答题时请将图画在答卷纸上）		 2022-04-17 19:16:55
19954 5ce63929210b28021fc7668d 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，边 $AC$ 上一点 $D$ 及 $BC$ 延长线上一点 $E$ 满足 $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BC}{2CE}$，以 $AB$ 为直径的圆 $w$ 与线段 $DE$ 交于一点 $F$．证明：$B,C,F,D$ 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上） 2022-04-17 19:14:55
19931 5ced00ac210b280220ed3807 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$BC$ 边上的高 $AD=12$，$\angle A$ 的平分线 $AE=13$．设 $BC$ 边上的中线 $AF=m$，问 $m$ 在什么范围内取值时，$\angle A$ 分别为锐角，直角，钝角． 2022-04-17 19:59:54
19928 5cedef50210b28021fc76a03 高中 解答题 自招竞赛 已知四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的四个顶点位于 $\triangle ABC$ 的边上，求证：四个三角形 $\triangle P_{1} P_{2} P_{3}, \triangle P_{1} P_{2} P_{4}, \triangle P_{1} P_{3} P_{4},\triangle P_{2} P_{3} P_{4}$ 中，至少有一个的面积不大于 $\triangle ABC$ 面积的四分之一． 2022-04-17 19:57:54
19920 5cee3d42210b280220ed3946 高中 解答题 自招竞赛 把边长为 $1$ 的正 $\triangle $ 的各边都 $n$ 等份，过各点作平行于其他两边的直线，将这三角形分成小三角形．各小三角形的顶点都称为结点，在每一结点上放置了一个实数．已知
（Ⅰ）$A,B,C$ 三点上放置的数分别为 $a,b,c$
（Ⅱ）在每个由公共边的两个最小三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等．		 2022-04-17 19:52:54
19918 5cef41fa210b28021fc76ad4 高中 解答题 自招竞赛 在一个面积为 $1$ 的正三角形内部，任意放五个点．试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过 $0.64$． 2022-04-17 19:50:54
19917 5cef644b210b280220ed39e0 高中 解答题 自招竞赛 设 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 是一个四面体，$S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 分别是以 $A_1,A_{2}, A_{3}, A_{4}$ 为球心的球，它们两两相切．如果存在一点 $Q$，以这点为球心可作一个半径为 $r$ 的球与 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 都想切，还可以作一个半径为 $R$ 的球与四面体的各棱都相切．求证：这个四面体是正四面体． 2022-04-17 19:49:54
19897 5cef83d0210b280220ed3a56 高中 解答题 自招竞赛 设 $C_1,C_2$ 是同心圆，$C_2$ 的半径是 $C_1$ 半径的 $2$ 倍．四边形 $A_1A_2A_3A_4$ 内接于 $C_1$，将 $A_4A_1$ 延长交圆 $C_2$ 于 $B_1$，$A_1A_2$ 延长交圆 $C_2$ 于 $B_2$，$A_2A_3$ 延长交圆 $C_2$ 与 $B_3$，$A_3A_4$ 延长交圆 $C_2$ 与 $B_4$．试证：四边形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ 的周长大于等于 $2\times$ 四边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的周长．并请确定等号成立的条件． 2022-04-17 19:41:54
19894 5cf09079210b280220ed3b11 高中 解答题 自招竞赛 给出三个四面体 $A_{i} B_{i} C_{i} D_{i}(i=1,2,3)$，过点 $B_{i}, C_{i}, D_{i}$ 作平面 $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$，分别与棱 $A_{i} B_{i}, A_{i} C_{i}, A_{i} D_{i}$ 垂直 $(i=1,2,3 )$．如果九个平面 $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$ 相较于一点 $E$，而三点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 在同一直线 $l$ 上，求三个四面体的外接球面的交集．（形状怎样？位置如何？） 2022-04-17 19:39:54
19873 5cf49027210b28021fc76cfc 高中 解答题 自招竞赛 如图，在凸四边形 $ABCD$ 中，$AB$ 与 $CD$ 不平行，圆 $O_1$ 过 $A,B$ 且与边 $CD$ 相切于 $P$，圆 $O_2$ 过 $C,D$ 且与边 $AB$ 相切于 $Q$，圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 相交于 $E,F$．求证：$EF$ 平分线段 $PQ$ 的充分必要条件是 $BC\parallel AD$． 2022-04-17 19:27:54
19842 5cf8c4a4210b280220ed4031 高中 解答题 自招竞赛 设圆 $K$ 和 $K_1$ 同心，它们的半径分别为 $R$ 和 $R_1$，$R_{1}>R$．四边形 $ABCD$ 内接于圆 $K$，四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内接于圆 $K_1$，点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ 分别在射线 $C D, D A, A B, B C$ 上，求证：$\frac{S_{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{S_{A B C D}} \geqslant \frac{R_{1}^{2}}{R^{2}}$ 2022-04-17 19:14:54
19823 5cfe2127210b28021fc77011 高中 解答题 自招竞赛 空间有四个球，它们的半径分别为 $2,2,3,3$，每个球都与其余 $3$ 个球外切，另有一个小球与那四个球都外切，求该小球的半径． 2022-04-17 19:04:54
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