如图，在锐角 $\vartriangle ABC$ 中，$AB>AC$，$O$ 为外心，$D$ 为边 $BC$ 的中点．
以 $AD$ 为直径作圆与边 $AB$、$AC$ 分别交于点 $E$、$F$．过 $D$ 作 $DM∥AO$ 交 $EF$ 于点 $M$．求证：$EM=MF$．
以 $AD$ 为直径作圆与边 $AB$、$AC$ 分别交于点 $E$、$F$．过 $D$ 作 $DM∥AO$ 交 $EF$ 于点 $M$．求证：$EM=MF$．
【难度】
【出处】
2015第14届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图1，连接 $DE$、$DF$，过 $O$ 作 $ON\bot AB$ 交 $AB$ 于点 $N$．由题意可知，$DE\bot AB$，$DF\bot AC$．因此，$ON$ ∥ $DE$．又因为 $DM$ ∥ $AO$，所以 $\angle EDM=\angle AON$．
因为 $O$ 为 $\vartriangle ABC$ 外心，所以 $\angle AON=\angle ACB$．从而 $\angle EDM=\angle ACB$．
同理可得，$\angle FDM=\angle ABC$．
在 $\vartriangle EDF$ 中，有
．$\frac{EM}{MF}=\frac{DE\cdot \sin\angle EDM}{DF\cdot \sin \angle FDM}=\frac{DE\cdot \sin \angle ACB}{DF\cdot\sin \angle ABC}=\frac{DB\cdot \sin \angle ABC\cdot \sin \angle ACB}{DC\cdot\sin \angle ACB\cdot \sin \angle ABC}=1$，
即EM = MF．
因为 $O$ 为 $\vartriangle ABC$ 外心，所以 $\angle AON=\angle ACB$．从而 $\angle EDM=\angle ACB$．
同理可得，$\angle FDM=\angle ABC$．
在 $\vartriangle EDF$ 中，有
．$\frac{EM}{MF}=\frac{DE\cdot \sin\angle EDM}{DF\cdot \sin \angle FDM}=\frac{DE\cdot \sin \angle ACB}{DF\cdot\sin \angle ABC}=\frac{DB\cdot \sin \angle ABC\cdot \sin \angle ACB}{DC\cdot\sin \angle ACB\cdot \sin \angle ABC}=1$，
即EM = MF．
答案
解析
备注
