如图所示，在等腰 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，边 $AC$ 上一点 $D$ 及 $BC$ 延长线上一点 $E$ 满足 $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BC}{2CE}$，以 $AB$ 为直径的圆 $w$ 与线段 $DE$ 交于一点 $F$．证明：$B,C,F,D$ 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛（B卷加试试题）
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，取 $BC$ 中点 $H$，则由 $AB=AC$ 知 $AH\bot BC$，故 $H$ 在圆 $w$ 上．
延长 $FD$ 至 $G$，使得 $AG\parallel BC$，结合已知条件得，$\dfrac{AG}{CE}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BC}{2CE}$，故 $AG=\dfrac{1}{2}BC=BH=HC$，从而 $AGBH$ 为矩形，$AGHC$ 为平行四边形．由 $AGBH$ 为矩形知，$G$ 亦在圆 $w$ 上．故 $\angle HGF=\angle HBF$．又 $AGHC$ 为平行四边形，由 $AC\parallel GH$，得 $\angle CDF=\angle HGF$．所以 $\angle CDF=\angle HBF=\angle CBF$，故 $B,C,F,D$ 四点共圆．
延长 $FD$ 至 $G$，使得 $AG\parallel BC$，结合已知条件得，$\dfrac{AG}{CE}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BC}{2CE}$，故 $AG=\dfrac{1}{2}BC=BH=HC$，从而 $AGBH$ 为矩形，$AGHC$ 为平行四边形．由 $AGBH$ 为矩形知，$G$ 亦在圆 $w$ 上．故 $\angle HGF=\angle HBF$．又 $AGHC$ 为平行四边形，由 $AC\parallel GH$，得 $\angle CDF=\angle HGF$．所以 $\angle CDF=\angle HBF=\angle CBF$，故 $B,C,F,D$ 四点共圆．
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