在 $\triangle ABC$ 中，$BC$ 边上的高 $AD=12$，$\angle A$ 的平分线 $AE=13$．设 $BC$ 边上的中线 $AF=m$，问 $m$ 在什么范围内取值时，$\angle A$ 分别为锐角，直角，钝角．
【难度】
【出处】
1986第1届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
这是一个比较接近于课本内容的平面几何题目．证明本题也有很多种方法．这些证法大体上又可以分两类，一类是通过代数的或三角的计算，另一类侧重于纯几何的方法．以下，我们给出两个解法．
解法一
首先，由勾股定理，得出 $E D=\sqrt{A E^{2}-A D^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=5$ 可见，不论 $\triangle ABC$ 怎样变化，$\mathrm{Rt} \triangle A E D$ 总是固定的，用字母 $\alpha$ 来记 $\angle E A D$，于是 $\tan \alpha=5 / 12$．令 $\beta=\angle B A E=\angle C A E$，故有 $\angle B A D=\beta+\alpha, \angle C A D=\beta-\alpha$ 从而 $B D=A D \tan (\beta+\alpha)=12 \tan (\beta+\alpha),C D=A D \tan (\beta-\alpha)=12 \tan (\beta-\alpha)$ 由 $B D=B F \pm F D, C D=C F \mp F D$ 及 $B F=C F$，有
$F D=\frac{1}{2}|B D-C D|=6|\tan (\beta+\alpha)-\tan (\beta-\alpha)|=6\left|\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}-\dfrac{\tan \beta-\tan \alpha}{1+\tan \beta \tan \alpha}\right|=\\6\left|\dfrac{2 \tan \alpha\left(1+\tan ^{2} \beta\right)}{1-\tan ^{2} \alpha \tan ^{2} \beta}\right|=5 \dfrac{1+\tan ^{2} \beta}{ | 1-\left(\dfrac{5}{12}\right)^{2} \tan ^{2} \beta}=5 \dfrac{1+\tan ^{2} \beta}{1-\left(\dfrac{5}{12}\right)^{2} \tan ^{2} \beta} $
以下分三种情况讨论．
（1）当 $\angle A$ 为锐角时，$0<\beta<\dfrac{\pi}{4},0<\tan^2\beta<1$．这时 $5<FD<\dfrac{1440}{119}$，因为 $m=AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{144+DF^2}$，所以这时 $13<m<2028/119$．
（2）当 $\angle A$ 为直角时，$\beta=\dfrac{\pi}{4}$，这时 $m=2028/119$．
（3）当 $\angle A$ 为钝角时，这时有 $\dfrac{\pi}{4}<\beta<\dfrac{\pi}{2}-\alpha$，这不等式后一部分是因为必须有 $\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$．这时 $1<\tan ^{2} \beta<\tan ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)<\left(\frac{12}{5}\right)^{2}$ 因此 $\frac{1440}{119}<D F<+\infty$，从而 $\frac{2028}{119}<m<+\infty.$
容易看出，$m$ 的值与 $\angle A$ 的大小有着一一对应的关系，因此我们得出结论：
当 $m \in\left(13, \frac{2028}{119}\right)$ 时，$\angle A$ 为锐角；
当 $m=2028 / 119$ 时，$\angle A$ 为直角；
当 $m \in\left(\frac{2028}{119},+\infty\right)$ 时，$\angle A$ 为钝角．
解法二
作 $\triangle ABC$ 的外接圆．过 $BC$ 的中点 $F$ 作 $BC$ 的垂直平分线，交外接圆于 $G$．容易得出，当 $\angle A$ 为锐角时，$AF>FG$；
当 $\angle A$ 为直角时，$AF=FG$；当 $\angle A$ 为钝角时，$AF<FG$．
由于 $AE$ 为 $\angle BAC$ 的平分线，所以 $AE$ 的延长线一定通过点 $G$．于是 $\dfrac{F G}{F E}=\frac{A D}{E D}=\dfrac{12}{5}$ 由此得 $F G=\dfrac{12}{5} F E$．但是 $A F^{2}=A D^{2}+D F^{2}=12^{2}+(F E+5)^{2}$ 即 $F E=\sqrt{m^{2}-12^{2}}-5$ 于是 $F G=\frac{12}{5}\left(\sqrt{m^{2}-12^{2}}-5\right)$ 不等式 $FG<m$ 相当于 $\sqrt{m^{2}-12^{2}}-5<\frac{5}{12} m$ 去掉根号并化简之后，得到不等式 $m^{2}-\frac{600}{119} m-\frac{(12 \times 13)^{2}}{119}<0$ 解上述不等式得到 $-12<m<\frac{2028}{119}$
$m$ 当然不能取得负值．不但如此，仔细观察几何图形，$m=13$ 都是不可能的，否则将导致 $12=13$．所以当 $\angle A$ 为锐角时，只能是 $13<m<2028/119$．其他情形，亦如解法一所列出的结果．
解法一
首先，由勾股定理，得出 $E D=\sqrt{A E^{2}-A D^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{(13-12)(13+12)}=5$ 可见，不论 $\triangle ABC$ 怎样变化，$\mathrm{Rt} \triangle A E D$ 总是固定的，用字母 $\alpha$ 来记 $\angle E A D$，于是 $\tan \alpha=5 / 12$．令 $\beta=\angle B A E=\angle C A E$，故有 $\angle B A D=\beta+\alpha, \angle C A D=\beta-\alpha$ 从而 $B D=A D \tan (\beta+\alpha)=12 \tan (\beta+\alpha),C D=A D \tan (\beta-\alpha)=12 \tan (\beta-\alpha)$ 由 $B D=B F \pm F D, C D=C F \mp F D$ 及 $B F=C F$，有
$F D=\frac{1}{2}|B D-C D|=6|\tan (\beta+\alpha)-\tan (\beta-\alpha)|=6\left|\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}-\dfrac{\tan \beta-\tan \alpha}{1+\tan \beta \tan \alpha}\right|=\\6\left|\dfrac{2 \tan \alpha\left(1+\tan ^{2} \beta\right)}{1-\tan ^{2} \alpha \tan ^{2} \beta}\right|=5 \dfrac{1+\tan ^{2} \beta}{ | 1-\left(\dfrac{5}{12}\right)^{2} \tan ^{2} \beta}=5 \dfrac{1+\tan ^{2} \beta}{1-\left(\dfrac{5}{12}\right)^{2} \tan ^{2} \beta} $
以下分三种情况讨论．
（1）当 $\angle A$ 为锐角时，$0<\beta<\dfrac{\pi}{4},0<\tan^2\beta<1$．这时 $5<FD<\dfrac{1440}{119}$，因为 $m=AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{144+DF^2}$，所以这时 $13<m<2028/119$．
（2）当 $\angle A$ 为直角时，$\beta=\dfrac{\pi}{4}$，这时 $m=2028/119$．
（3）当 $\angle A$ 为钝角时，这时有 $\dfrac{\pi}{4}<\beta<\dfrac{\pi}{2}-\alpha$，这不等式后一部分是因为必须有 $\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$．这时 $1<\tan ^{2} \beta<\tan ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)<\left(\frac{12}{5}\right)^{2}$ 因此 $\frac{1440}{119}<D F<+\infty$，从而 $\frac{2028}{119}<m<+\infty.$
容易看出，$m$ 的值与 $\angle A$ 的大小有着一一对应的关系，因此我们得出结论：
当 $m \in\left(13, \frac{2028}{119}\right)$ 时，$\angle A$ 为锐角；
当 $m=2028 / 119$ 时，$\angle A$ 为直角；
当 $m \in\left(\frac{2028}{119},+\infty\right)$ 时，$\angle A$ 为钝角．
解法二
作 $\triangle ABC$ 的外接圆．过 $BC$ 的中点 $F$ 作 $BC$ 的垂直平分线，交外接圆于 $G$．容易得出，当 $\angle A$ 为锐角时，$AF>FG$；
当 $\angle A$ 为直角时，$AF=FG$；当 $\angle A$ 为钝角时，$AF<FG$．由于 $AE$ 为 $\angle BAC$ 的平分线，所以 $AE$ 的延长线一定通过点 $G$．于是 $\dfrac{F G}{F E}=\frac{A D}{E D}=\dfrac{12}{5}$ 由此得 $F G=\dfrac{12}{5} F E$．但是 $A F^{2}=A D^{2}+D F^{2}=12^{2}+(F E+5)^{2}$ 即 $F E=\sqrt{m^{2}-12^{2}}-5$ 于是 $F G=\frac{12}{5}\left(\sqrt{m^{2}-12^{2}}-5\right)$ 不等式 $FG<m$ 相当于 $\sqrt{m^{2}-12^{2}}-5<\frac{5}{12} m$ 去掉根号并化简之后，得到不等式 $m^{2}-\frac{600}{119} m-\frac{(12 \times 13)^{2}}{119}<0$ 解上述不等式得到 $-12<m<\frac{2028}{119}$
$m$ 当然不能取得负值．不但如此，仔细观察几何图形，$m=13$ 都是不可能的，否则将导致 $12=13$．所以当 $\angle A$ 为锐角时，只能是 $13<m<2028/119$．其他情形，亦如解法一所列出的结果．
答案
解析
备注
