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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18094 5c88955e210b286d125ef1a4 高中 解答题 自招竞赛 已知方程组
$\left\{ \begin{matrix}
{{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+{{a}_{13}}{{x}_{3}}=0 \\
{{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+{{a}_{23}}{{x}_{3}}=0 \\
{{a}_{31}}{{x}_{1}}+{{a}_{32}}{{x}_{2}}+{{a}_{33}}{{x}_{3}}=0 \\
\end{matrix} \right.$
它的系数满足下列条件：
（$a$）${a}_{11},{a}_{22},{a}_{33}$ 都是正数；
（$b$）其余各系数都是负数；
（$c$）每一个方程所有系数之和是正数．
求证：${x}_{1}={x}_{2}={x}_{3}=0$ 是这个方程组的唯一解．（波兰）		 2022-04-17 19:18:38
18092 5c889569210b286d125ef1aa 高中 解答题 自招竞赛 求 $4$ 个实数 ${x}_{1}、{x}_{2}、{x}_{3}、{x}_{4}$，使其中任何一个加上其余 $3$ 数积之和等于 $2$．（苏联） 2022-04-17 19:17:38
18081 5c889c59210b286d125ef1c1 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c$ 是某个三角形的三条边长，求证：${{a}^{2}}(b+c-a)+{{b}^{2}}(a+c-b)+{{c}^{2}}(a+b-c)\leqslant 3abc$．（匈牙利） 2022-04-17 19:12:38
18076 5c88a0df210b286d07454072 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\sqrt{{{x}^{2}}-p}+2\sqrt{{{x}^{2}}-1}=x$ 的全部实数解，其中 $p$ 为实参数．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:08:38
18075 5c88a0ef210b286d125ef1d9 高中 解答题 自招竞赛 解方程组
$ \begin{cases}
{{x}_{5}}+{{x}_{2}}=y{{x}_{1}} ① \\
{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=y{{x}_{2}} ② \\
{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=y{{x}_{3}} ③ \\
{{x}_{3}}+{{x}_{5}}=y{{x}_{4}} ④ \\
{{x}_{4}}+{{x}_{1}}=y{{x}_{5}} ⑤ \\
\end{cases} $
其中 $y $ 是参数．（苏联）		 2022-04-17 19:08:38
18074 5c88a0f4210b286d125ef1de 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\cos \dfrac{\pi }{7}-\cos \dfrac{2\pi }{7}+\cos \dfrac{3\pi }{7}=\dfrac{1}{2}$．（民主德国） 2022-04-17 19:07:38
18070 5c88a368210b286d125ef1f2 高中 解答题 自招竞赛 求满足不等式 $\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\dfrac{1}{2}$ 的所有实数 $ x$．（匈牙利） 2022-04-17 19:04:38
18068 5c88a375210b286d125ef1f8 高中 解答题 自招竞赛 解方程 $\cos^{2}x+\cos^{2}2x+\cos^{2}3x=1$．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:03:38
18061 5c88ab14210b286d125ef208 高中 解答题 自招竞赛 解方程组
$ \begin{cases}
x+y+z=a ① \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{b}^{2}} ② \\
xy={{z}^{2}} ③ \\
\end{cases} $
其中 $a,b$ 为给定的实数．并指出 $a,b$ 应满足怎样的条件，才能使方程组的解 $x,y,z$ 为互不相等的正数？（匈牙利）		 2022-04-17 19:59:37
18060 5c88ab1e210b286d074540a4 高中 解答题 自招竞赛 解方程 ${{\cos }^{n}}x-{{\sin }^{n}}x=1$，其中 $n$ 为任意给定的正整数．（保加利亚） 2022-04-17 19:58:37
18059 5c88ab19210b286d0745409f 高中 解答题 自招竞赛 已知三角形的三条边长分别为 $a,b,c$，面积为 $S$．求证：${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\geqslant 4\sqrt{3}S$，并指出等号成立的条件．（波兰） 2022-04-17 19:58:37
18053 5c88adb4210b286d125ef226 高中 解答题 自招竞赛 对于 $x$ 的哪些值，不等式 $\dfrac{4{{x}^{2}}}{{{\left( 1-\sqrt{1+2x} \right)}^{2}}}<2x+9$ 成立．（匈牙利） 2022-04-17 19:55:37
18046 5c88b16e210b286d125ef255 高中 解答题 自招竞赛 在实数范围内解方程：
（$a$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}$；
（$b$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$；
（$c$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$．
（罗马尼亚）		 2022-04-17 19:50:37
18045 5c88b176210b286d074540c8 高中 解答题 自招竞赛 已知关于 $ \cos x$ 的二次方程 $a{{\cos }^{2}}x+b\cos x+c=0$．其中 $a、b、c$ 为已知实数．求作一个以 $\cos 2x $ 为根的二次方程．在 $a=4,b=2,c=-1 $ 的情况下，对已知方程与作出的新方程进行比较．（匈牙利） 2022-04-17 19:50:37
18039 5d2e8519210b280220ed6227 高中 解答题 自招竞赛 用 $\mathbb{Z}$ 表示全体整数构成的集合．求所有函数 $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 满足对任意整数 $a$ 和 $ b$ 都有 $f(2 a)+2 f(b)=f(f(a+b))$．（南非） 2022-04-17 19:47:37
15183 5ca41473210b281080bfd868 高中 解答题 自招竞赛 试求出所有的正整数 $k$，使得对任意满足不等式 $k\left( ab+bc+ca \right)>5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ 的正数 $a\text{,}b\text{,c}$，一定存在三边长为 $a\text{,}b\text{,}c$ 的三角形。 2022-04-17 19:23:11
15181 5ca41c74210b281080bfd8be 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 定义如下：${{a}_{1}}\text{=}2\text{,}{{a}_{n+1}}\text{=}{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n}}+1\text{,}n\text{=1,2,}\cdots $ 。证明：$1-\frac{1}{{{2003}^{2003}}}\text{}\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{2003}}}\text{}1$ 2022-04-17 19:22:11
15179 5ca423cd210b28107f52aa69 高中 解答题 自招竞赛 设 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正实数，求 $\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$ 的最小值 2022-04-17 19:21:11
15177 5ca423dd210b28107f52aa74 高中 解答题 自招竞赛 设 $u\text{,}v\text{,}w$ 为正实数，满足条件 $u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\geqslant 1$ 。试求 $u+v+w$ 的最小值。 2022-04-17 19:20:11
15173 5ca4282f210b281080bfd927 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $x\text{,}y$ 满足 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}\text{=}x-y$ 。求证：${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}<1$ 。 2022-04-17 19:16:11
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