对于 $x$ 的哪些值，不等式 $\dfrac{4{{x}^{2}}}{{{\left( 1-\sqrt{1+2x} \right)}^{2}}}<2x+9$ 成立．（匈牙利）
【难度】
【出处】
1960年第02届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
不等式要成立，必须 $\begin{cases}1+2x\geqslant 0\\1-\sqrt{1+2x}\ne 0\end{cases}$ 所以 $x\geqslant\dfrac{1}{2}$，且 $x\ne 0$．
原不等式等价于
$\begin{aligned}
\dfrac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2(1+\sqrt{1+2x})^2}<2x+9\\
\dfrac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{[1-(1+2x)]^2}<2x+9\\
(1+\sqrt{1+2x})^2<2x+9\\
2\sqrt{1+2x}<7\\
x<\dfrac{45}{8}
\end{aligned}$
故当 $-\dfrac{1}{2}\leqslant x<0$ 或 $0<x<\dfrac{45}{8}$ 时，题设不等式成立．
证法二
由 $\begin{cases}
1+2x\geqslant 0\\
1-\sqrt{1+2x}\ne 0
\end{cases}$ 所以 $x\geqslant-\dfrac{1}{2}$，且 $x\ne 0$．
去分母得
$4x^2<(2x+9)(1-\sqrt{1+2x})^2$
$(2x+9)\sqrt{1+2x}<11x+9$
两边平方后，化简得 $x^2(8x-45)<0,x<\dfrac{45}{8}$．
故当 $x\in\left[-\dfrac{1}{2},0\right)\bigcup \left(0,\dfrac{45}{8}\right)$ 时，题设不等式成立．
不等式要成立，必须 $\begin{cases}1+2x\geqslant 0\\1-\sqrt{1+2x}\ne 0\end{cases}$ 所以 $x\geqslant\dfrac{1}{2}$，且 $x\ne 0$．
原不等式等价于
$\begin{aligned}
\dfrac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2(1+\sqrt{1+2x})^2}<2x+9\\
\dfrac{4x^2(1+\sqrt{1+2x})^2}{[1-(1+2x)]^2}<2x+9\\
(1+\sqrt{1+2x})^2<2x+9\\
2\sqrt{1+2x}<7\\
x<\dfrac{45}{8}
\end{aligned}$
故当 $-\dfrac{1}{2}\leqslant x<0$ 或 $0<x<\dfrac{45}{8}$ 时，题设不等式成立．
证法二
由 $\begin{cases}
1+2x\geqslant 0\\
1-\sqrt{1+2x}\ne 0
\end{cases}$ 所以 $x\geqslant-\dfrac{1}{2}$，且 $x\ne 0$．
去分母得
$4x^2<(2x+9)(1-\sqrt{1+2x})^2$
$(2x+9)\sqrt{1+2x}<11x+9$
两边平方后，化简得 $x^2(8x-45)<0,x<\dfrac{45}{8}$．
故当 $x\in\left[-\dfrac{1}{2},0\right)\bigcup \left(0,\dfrac{45}{8}\right)$ 时，题设不等式成立．
答案
解析
备注
