解方程组
$ \begin{cases}
x+y+z=a ① \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{b}^{2}} ② \\
xy={{z}^{2}} ③ \\
\end{cases} $
其中 $a,b$ 为给定的实数．并指出 $a,b$ 应满足怎样的条件，才能使方程组的解 $x,y,z$ 为互不相等的正数？（匈牙利）
$ \begin{cases}
x+y+z=a ① \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{b}^{2}} ② \\
xy={{z}^{2}} ③ \\
\end{cases} $
其中 $a,b$ 为给定的实数．并指出 $a,b$ 应满足怎样的条件，才能使方程组的解 $x,y,z$ 为互不相等的正数？（匈牙利）
【难度】
【出处】
1961年第03届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 ②，③ 易知 $(x+y+z)(x+y-z)=b^2$ ④
当 $a=0,b\ne 0$ 时，由 ①，④ 知原方程组无解；当 $a=b=0$ 时，易知方程组有唯一解：$x=y=z=0$；若 $a\ne 0$，由 ①，④ 得 $x+y-z=\dfrac{b^2}{a}$．⑤
再由 ①，③，⑤，得
$x+y=\dfrac{a^2+b^2}{2a}$
$z=\dfrac{a^2-b^2}{2a}$
$xy=\dfrac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}$．
当 $\Delta=\dfrac{1}{4a^2}[(a^2+b^2)^2-4(a^2-b^2)^2]=\dfrac{1}{4a^2}(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)\geqslant 0$ 时．
方程组有实数解
$\begin{cases}
x=\dfrac{1}{4a}[a^2+b^2\pm\sqrt{(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)}]\\
y=\dfrac{1}{4a}[a^2+b^2\mp\sqrt{(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)}]\\
z=\dfrac{1}{2a}(a^2-b^2)
\end{cases}$
要使方程组的解都是正的，由 ① 知必须 $a>0,z>0$ 可知 $a^2>b^2$，要使解是互不相同的实数，易知必须 $\Delta>0$，而由此及 $3a^2>b^2$ 得 $3b^2-a^2>0,|b|>0$．
所有这些不等式可简写成 $0<|b|<a<\sqrt{3}|b|$．⑥
当 $a$ 和 $b$ 满足 ⑥ 时，必有 $\dfrac{a^2+b^2}{4a}>\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}$（因 $(a^2-b^2)^2>0$），因此 $x>0,y>0$ 且由 $z=\sqrt{xy}$ 知，只要 $x\ne y,x,y,z$ 即为两两不等之正数．
当 $a=0,b\ne 0$ 时，由 ①，④ 知原方程组无解；当 $a=b=0$ 时，易知方程组有唯一解：$x=y=z=0$；若 $a\ne 0$，由 ①，④ 得 $x+y-z=\dfrac{b^2}{a}$．⑤
再由 ①，③，⑤，得
$x+y=\dfrac{a^2+b^2}{2a}$
$z=\dfrac{a^2-b^2}{2a}$
$xy=\dfrac{(a^2-b^2)^2}{4a^2}$．
当 $\Delta=\dfrac{1}{4a^2}[(a^2+b^2)^2-4(a^2-b^2)^2]=\dfrac{1}{4a^2}(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)\geqslant 0$ 时．
方程组有实数解
$\begin{cases}
x=\dfrac{1}{4a}[a^2+b^2\pm\sqrt{(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)}]\\
y=\dfrac{1}{4a}[a^2+b^2\mp\sqrt{(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)}]\\
z=\dfrac{1}{2a}(a^2-b^2)
\end{cases}$
要使方程组的解都是正的，由 ① 知必须 $a>0,z>0$ 可知 $a^2>b^2$，要使解是互不相同的实数，易知必须 $\Delta>0$，而由此及 $3a^2>b^2$ 得 $3b^2-a^2>0,|b|>0$．
所有这些不等式可简写成 $0<|b|<a<\sqrt{3}|b|$．⑥
当 $a$ 和 $b$ 满足 ⑥ 时，必有 $\dfrac{a^2+b^2}{4a}>\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2}$（因 $(a^2-b^2)^2>0$），因此 $x>0,y>0$ 且由 $z=\sqrt{xy}$ 知，只要 $x\ne y,x,y,z$ 即为两两不等之正数．
答案
解析
备注
