设正实数 $x\text{,}y$ 满足 ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}\text{=}x-y$ 。求证：${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}<1$ 。
【难度】
【出处】
2005第4届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由平均不等式得 $5{{y}^{3}}+{{x}^{2}}y\ge2\sqrt{5{{x}^{2}}{{y}^{4}}}>{4}x{{y}^{2}}$ 。所以，$\left( {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}\right)\left( x-y \right)\text{}{{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ 。 所以 ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}<\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{x-y}\text{=}1$ 。
答案
解析
备注
