用 $\mathbb{Z}$ 表示全体整数构成的集合．求所有函数 $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 满足对任意整数 $a$ 和 $ b$ 都有 $f(2 a)+2 f(b)=f(f(a+b))$．（南非）
【难度】
【出处】
2019年第60届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将题中等式记为 $P(a,b)$．由 $P(0,x)$ 得 $f(0)+2f(x)=f(f(x))$．①
由 $P(x,0)$ 得 $f(2x)+2f(0)=f(f(x))$ ②
比较 ① 和 ② 可得 $f(2x)=2f(x)-f(0)$．③
将 ① 和 ③ 代入原式，我们有 $2f(a)-f(0)+2f(b)=f(0)+2f(a+b)$．④
令 $g(x)=f(x)-f(0)$，则 $g(0)=0$，并且 ④ 可以写为 $g(a+b)=g(a)+g(b)$．⑤
由柯西方法可知，对任意整数 $n$，都有 $g(n)=g(1)n$．从而 $f$ 形如 $f(x)=kx+c$，其中 $k,c\in\mathbb{Z}$．
代入原式中，要求对所有整数 $a,b$ 有 $2k(a+b)+3c=k^2(a+b)+(k+1)c$．
当且仅当 $2k=k^2$，且 $3c=(k+1)c$．从而 $k=2$ 或 $0$．若 $k=2$，则 $c$ 可为任意整数．若 $k=0$，则 $c=0$．因此满足条件的函数为 $f(x)=0$ 或 $f(x)=2x+c$，$c$ 是任意整数．
由 $P(x,0)$ 得 $f(2x)+2f(0)=f(f(x))$ ②
比较 ① 和 ② 可得 $f(2x)=2f(x)-f(0)$．③
将 ① 和 ③ 代入原式，我们有 $2f(a)-f(0)+2f(b)=f(0)+2f(a+b)$．④
令 $g(x)=f(x)-f(0)$，则 $g(0)=0$，并且 ④ 可以写为 $g(a+b)=g(a)+g(b)$．⑤
由柯西方法可知，对任意整数 $n$，都有 $g(n)=g(1)n$．从而 $f$ 形如 $f(x)=kx+c$，其中 $k,c\in\mathbb{Z}$．
代入原式中，要求对所有整数 $a,b$ 有 $2k(a+b)+3c=k^2(a+b)+(k+1)c$．
当且仅当 $2k=k^2$，且 $3c=(k+1)c$．从而 $k=2$ 或 $0$．若 $k=2$，则 $c$ 可为任意整数．若 $k=0$，则 $c=0$．因此满足条件的函数为 $f(x)=0$ 或 $f(x)=2x+c$，$c$ 是任意整数．
答案
解析
备注
