已知方程组
$\left\{ \begin{matrix}
{{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+{{a}_{13}}{{x}_{3}}=0 \\
{{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+{{a}_{23}}{{x}_{3}}=0 \\
{{a}_{31}}{{x}_{1}}+{{a}_{32}}{{x}_{2}}+{{a}_{33}}{{x}_{3}}=0 \\
\end{matrix} \right.$
它的系数满足下列条件：
（$a$）${a}_{11},{a}_{22},{a}_{33}$ 都是正数；
（$b$）其余各系数都是负数；
（$c$）每一个方程所有系数之和是正数．
求证：${x}_{1}={x}_{2}={x}_{3}=0$ 是这个方程组的唯一解．（波兰）
$\left\{ \begin{matrix}
{{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+{{a}_{13}}{{x}_{3}}=0 \\
{{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+{{a}_{23}}{{x}_{3}}=0 \\
{{a}_{31}}{{x}_{1}}+{{a}_{32}}{{x}_{2}}+{{a}_{33}}{{x}_{3}}=0 \\
\end{matrix} \right.$
它的系数满足下列条件：
（$a$）${a}_{11},{a}_{22},{a}_{33}$ 都是正数；
（$b$）其余各系数都是负数；
（$c$）每一个方程所有系数之和是正数．
求证：${x}_{1}={x}_{2}={x}_{3}=0$ 是这个方程组的唯一解．（波兰）
【难度】
【出处】
1965年第07届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
假设已知方程组有非零解，某一 $x_i(i=1,2,3)$ 为非零解中具有最大绝对值得一个，例如 $i=2$，即 $x_2\ne 0,|x_2|\geqslant|x_1|,|x_2|\geqslant |x_3|$，此时可证第二个方程不可能成立，事实上若该方程成立，由三角形不等式及假设知
$\begin{aligned}
a_{22}|x_2|&=|-a_{21}x_1-a_{23}x_3|\\
&\leqslant -a_{21}|x_1|-a_{23}|x_3|\\
&\leqslant -a_{21}|x_2|-a_{23}|x_2|
\end{aligned}$
除以 $|x_2|$，得 $a_{22}\leqslant -a_{21}-a_{23}$，即 $a_{21}+a_{22}+a_{23}\leqslant 0$，与条件（$c$）矛盾．
同理，如果 $x_1$ 或 $x_3$ 有最大绝对值，可证第一或第三个方程不可能成立．
证法二
线性齐次方程组仅当系数矩阵的行列式不为零时才有唯一零解．下面就证明
$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}&a_{13} \\a_{21} & a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\ne 0$
易知，最后一列用所有三列之和代替，得 $D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}&S_{1} \\a_{21} & a_{22}&S_{2}\\a_{31}&a_{32}&S_{3}\end{vmatrix}$．
其中，由条件（$c$），$S_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}>0,(i=1,2,3)$．按第三列展开：
$D=S_1\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}-S_2\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}+S_3\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=S_1(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})+S_2(a_{12}a_{31}-a_{11}a_{32})+S_3(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})$
从条件（$a$）和 $($ b $)$ 知上式中前两项是正的，又由（$b$）和（$c$）知 $a_{11}+a_{12}>a_{11}+a_{12}+a_{13}>0$，得 $a_{22}+a_{21}>a_{22}+a_{21}+a_{23}>0,a_{22}>-a_{21}=|a_{21}|$．
因此 $a_{11}a_{22}>a_{12}a_{21}$，第三项也是正的，于是 $D>0$，因而方程组只有零解 $x_1=x_2=x_3=0$．
假设已知方程组有非零解，某一 $x_i(i=1,2,3)$ 为非零解中具有最大绝对值得一个，例如 $i=2$，即 $x_2\ne 0,|x_2|\geqslant|x_1|,|x_2|\geqslant |x_3|$，此时可证第二个方程不可能成立，事实上若该方程成立，由三角形不等式及假设知
$\begin{aligned}
a_{22}|x_2|&=|-a_{21}x_1-a_{23}x_3|\\
&\leqslant -a_{21}|x_1|-a_{23}|x_3|\\
&\leqslant -a_{21}|x_2|-a_{23}|x_2|
\end{aligned}$
除以 $|x_2|$，得 $a_{22}\leqslant -a_{21}-a_{23}$，即 $a_{21}+a_{22}+a_{23}\leqslant 0$，与条件（$c$）矛盾．
同理，如果 $x_1$ 或 $x_3$ 有最大绝对值，可证第一或第三个方程不可能成立．
证法二
线性齐次方程组仅当系数矩阵的行列式不为零时才有唯一零解．下面就证明
$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}&a_{13} \\a_{21} & a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\ne 0$
易知，最后一列用所有三列之和代替，得 $D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}&S_{1} \\a_{21} & a_{22}&S_{2}\\a_{31}&a_{32}&S_{3}\end{vmatrix}$．
其中，由条件（$c$），$S_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}>0,(i=1,2,3)$．按第三列展开：
$D=S_1\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}-S_2\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}+S_3\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=S_1(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})+S_2(a_{12}a_{31}-a_{11}a_{32})+S_3(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})$
从条件（$a$）和 $($ b $)$ 知上式中前两项是正的，又由（$b$）和（$c$）知 $a_{11}+a_{12}>a_{11}+a_{12}+a_{13}>0$，得 $a_{22}+a_{21}>a_{22}+a_{21}+a_{23}>0,a_{22}>-a_{21}=|a_{21}|$．
因此 $a_{11}a_{22}>a_{12}a_{21}$，第三项也是正的，于是 $D>0$，因而方程组只有零解 $x_1=x_2=x_3=0$．
答案
解析
备注
