求满足不等式 $\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\dfrac{1}{2}$ 的所有实数 $ x$．（匈牙利）
【难度】
【出处】
1962年第04届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先，由 $\begin{cases}
3-x\geqslant 0\\
x+1\geqslant 0
\end{cases}$ 得 $-1\leqslant x\leqslant 3$，由于在 $-1\leqslant x\leqslant 3$ 时，$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}$ 的值是随着 $x$ 的增加而减小，解方程 $\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}=\dfrac{1}{2}$ ①
$\begin{aligned}
\dfrac{7}{4}-2x=\sqrt{x+1}\\
64x^2-128x+33=0\\
x=\dfrac{9\pm \sqrt{31}}{8}
\end{aligned}$
经检验，$x=\dfrac{8-\sqrt{31}}{8}$ 是 ① 的解，即 $x=\dfrac{8-\sqrt{31}}{8}$ 时，$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}$ 的值为 $\dfrac{1}{2}$．
所以，不等式的解为 $-1\leqslant x\leqslant \dfrac{8-\sqrt{31}}{8}$．
3-x\geqslant 0\\
x+1\geqslant 0
\end{cases}$ 得 $-1\leqslant x\leqslant 3$，由于在 $-1\leqslant x\leqslant 3$ 时，$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}$ 的值是随着 $x$ 的增加而减小，解方程 $\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}=\dfrac{1}{2}$ ①
$\begin{aligned}
\dfrac{7}{4}-2x=\sqrt{x+1}\\
64x^2-128x+33=0\\
x=\dfrac{9\pm \sqrt{31}}{8}
\end{aligned}$
经检验，$x=\dfrac{8-\sqrt{31}}{8}$ 是 ① 的解，即 $x=\dfrac{8-\sqrt{31}}{8}$ 时，$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}$ 的值为 $\dfrac{1}{2}$．
所以，不等式的解为 $-1\leqslant x\leqslant \dfrac{8-\sqrt{31}}{8}$．
答案
解析
备注
