解方程 ${{\cos }^{n}}x-{{\sin }^{n}}x=1$，其中 $n$ 为任意给定的正整数．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1961年第03届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $n$ 是偶数时，记 $n=2m$，有 $\cos^{2m}x=1+\sin^{2m}x$，由于 $\cos^{2m}x\leqslant 1\leqslant 1+\sin^{2m}x$，故只能有 $\sin x=0,\cos x=\pm 1$，此时 $x=k\pi$（$k$ 为整数）．
当 $n$ 是奇数且 $n\geqslant 3$ 时，由 $1=\cos^{n}x-\sin^{n}x\leqslant \cos^2x+\sin^2x=1$ 知必有 $\cos x=1,\sin x=0$ 或 $\cos x=0,\sin x=-1$．由此解得 $x=2k\pi$ 或 $2k\pi\dfrac{2}{\pi}$（$k$ 为整数）．
当 $n=1$ 时，原方程即为 $\cos x-\sin x=1$，也即 $\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，仍有 $x=2k\pi$ 或 $2k\pi\dfrac{2}{\pi}$（$k$ 为整数）．
当 $n$ 是奇数且 $n\geqslant 3$ 时，由 $1=\cos^{n}x-\sin^{n}x\leqslant \cos^2x+\sin^2x=1$ 知必有 $\cos x=1,\sin x=0$ 或 $\cos x=0,\sin x=-1$．由此解得 $x=2k\pi$ 或 $2k\pi\dfrac{2}{\pi}$（$k$ 为整数）．
当 $n=1$ 时，原方程即为 $\cos x-\sin x=1$，也即 $\cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，仍有 $x=2k\pi$ 或 $2k\pi\dfrac{2}{\pi}$（$k$ 为整数）．
答案
解析
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