已知三角形的三条边长分别为 $a,b,c$，面积为 $S$．求证：${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\geqslant 4\sqrt{3}S$，并指出等号成立的条件．（波兰）
【难度】
【出处】
1961年第03届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
由余弦定理及面积公式知 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$．
所以
$\begin{aligned}
&a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S\\
&=a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab\cos C)-4\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}ab\sin C\\
&=2[a^2+b^2-ab(\cos C+\sqrt{3}\sin C)]\\
&=2[a^2+b^2-2ab\sin (C+30^\circ)]\\
&\geqslant 2(a^2+b^2-2ab)\\
&=2(a-b)^2\\
&\geqslant 0
\end{aligned}$
证法二
由海伦公式，原不等式等价于
$\begin{aligned}
&(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 48p(p-a)(p-b)(p-c)\\
&\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\\
& \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 3[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]\\
& \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-3(a^4+b^4+c^4)\\
& \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\
& \Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\geqslant 0
\end{aligned}$
由余弦定理及面积公式知 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$．
所以
$\begin{aligned}
&a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S\\
&=a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab\cos C)-4\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}ab\sin C\\
&=2[a^2+b^2-ab(\cos C+\sqrt{3}\sin C)]\\
&=2[a^2+b^2-2ab\sin (C+30^\circ)]\\
&\geqslant 2(a^2+b^2-2ab)\\
&=2(a-b)^2\\
&\geqslant 0
\end{aligned}$
证法二
由海伦公式，原不等式等价于
$\begin{aligned}
&(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 48p(p-a)(p-b)(p-c)\\
&\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\\
& \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 3[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]\\
& \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geqslant 6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-3(a^4+b^4+c^4)\\
& \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\
& \Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\geqslant 0
\end{aligned}$
答案
解析
备注
