设 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正实数，求 $\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$ 的最小值
【难度】
【出处】
2004第3届CGMO试题
【标注】
【答案】
$-17+12\sqrt{2}$
【解析】
令 $x\text{=}a+2b+c\text{,}y\text{=}a+b+2c\text{,}z\text{=}a+b+3c$，则 $a+3c\text{=}2y-x\text{,}b\text{=}z+x-2y\text{,}c\text{=}z-y$，所以 $\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\text{=}\frac{2y-x}{x}+\frac{4\left(z+x-2y \right)}{y}-\frac{8\left( z-y \right)}{z}\text{=}-17+\left(2\frac{y}{x}+4\frac{x}{y} \right)+\left( 4\frac{z}{y}+8\frac{y}{z} \right)\geqslant-17+2\sqrt{8}+2\sqrt{32}\text{=}-17+12\sqrt{2}$ 等号成立时 $\left\{ \begin{matrix}
&2\frac{y}{x}\text{=}4\frac{x}{y} \\
&4\frac{z}{y}\text{=}8\frac{y}{z} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}&{{y}^{2}}\text{=}2{{x}^{2}} \\
&{{z}^{2}}\text{=}2{{y}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}&y\text{=}\sqrt{2}x \\
&z\text{=}2x \\
\end{matrix}\right.$，即 $\left\{\begin{matrix}& a+b+2c\text{=}\sqrt{2}\left( a+2b+c\right) \\
& a+b+3c\text{=2}\left( a+2b+c \right) \\
\end{matrix} \right.$ 解该不定方程组，得 $\left\{ \begin{matrix}& b\text{=}\left( 1+\sqrt{2} \right)a \\
& c\text{=}\left( 4+3\sqrt{2} \right)a \\
\end{matrix} \right.$，只需 $a\text{,}b\text{,}c$ 满足此数量关系原式即可取到最小值。
&2\frac{y}{x}\text{=}4\frac{x}{y} \\
&4\frac{z}{y}\text{=}8\frac{y}{z} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}&{{y}^{2}}\text{=}2{{x}^{2}} \\
&{{z}^{2}}\text{=}2{{y}^{2}} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{matrix}&y\text{=}\sqrt{2}x \\
&z\text{=}2x \\
\end{matrix}\right.$，即 $\left\{\begin{matrix}& a+b+2c\text{=}\sqrt{2}\left( a+2b+c\right) \\
& a+b+3c\text{=2}\left( a+2b+c \right) \\
\end{matrix} \right.$ 解该不定方程组，得 $\left\{ \begin{matrix}& b\text{=}\left( 1+\sqrt{2} \right)a \\
& c\text{=}\left( 4+3\sqrt{2} \right)a \\
\end{matrix} \right.$，只需 $a\text{,}b\text{,}c$ 满足此数量关系原式即可取到最小值。
答案
解析
备注
