1965年第07届IMO试题

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  二试代数部分

略

证法一
首先，对于方程组
$\begin{cases}
x_1+x_2x_3x_4=2 ① \\
x_2+x_1x_3x_4=2 ② \\
x_3+x_1x_2x_4=2 ③ \\
x_4+x_1x_2x_3=2 ④
\end{cases}$
我们有 $x_i\ne 0(i=1,2,3,4)$．否则比如 $x_1=0$，则由 ①，$x_2x_3x_4=2$，而由 ①，$x_2x_3x_4=2$，而由 ②，③，④，$x_2=x_3=x_4=2$，矛盾．同理 $x_2,x_3,x_4$ 均不为零．
现由 ①，②，得 $x_3x_4=\dfrac{2-x_1}{x_2}=\dfrac{2-x-2}{x_1}$，因而有 $2x_1-x_1^2=2x_2-x_2^2$，或 $(x_1-1)^2=(x_2-1)^2$，或 $|x_1-1|=|x_2-1|$．
通过循环，得 $|x_1-1|=|x_2-1|=|x_3-1|=|x_4-1|$．⑤
下分五种情况讨论：
（1）所有 $x_i\geqslant 1$，则由 ⑤ 得 $x_1=x_2=x_3=x_4$．
从 ① 推得 $x_1+x_1^3=2$．
因式分解得 $(x_1-1)(x_1^2+x_1+2)=0$．
由于后式恒大于零，因此 $x_1=x_2=x_3=x_4=1$，确实满足方程 ①，②，③，④．
（2）恰好三个 $x_i\geqslant 1$，不失一般性，假定 $x_1<1,x_2,x_3,x_4\geqslant 1$．则由 ⑤ 得 $1-x_1=x_2-1=x_3=1=x_4=1$．
因此 $x_2=x_3=x_4=2-x_1$．由 ① 得 $2-x_2+x_2^3=2$ 或 $x_2(x_2^2-1)=0$．
由此得 $x_2=1$ 和 $x_1=1$，矛盾．
（3）恰好两个 $x_i\geqslant 1$，不失一般性，假定 $x_1,x_2<1,x_3,x_4\geqslant 1$．由 ⑤ $x_1=x_2,x_3=x_4=2-x
_1$．由 ③ 得 $2-x_1+x_1^2(2-x_1)=2$ 或 $x_1(x_1-1)^2=0$．
推得 $x_1=1$，矛盾．
（4）恰好一个 $x_i\geqslant 1$．不失一般性，假定 $x_1,x_2,x_3<1,x_4\geqslant 1$．则由 ⑤ 得 $x_1=x_2=x_3=2-x_4$．再由 ④，得 $2-x_1+x_1^2=2$ 或 $x_1(x_1^2-1)=0$，推得 $x_1=1$，因而 $x_1=x_2=x_3=-1,x_4=3$．代入后发现确实满足 ① $\sim$ ④．通过循环置换，共得四组解，即 $(-1,-1,-1,3),(-1,-1,3,-1),(-1,3,-1,-1),(3,-1,-1,-1)$．
（5）所有 $x_i<1$，则由 ⑤ 得 $x_1=x_2=x_3=x_4$，易知有 $x_1=1$，和 $x_1<1$ 矛盾．
因此，所有解共有五组，分别为 $(1,1,1,1),(-1,-1,-1,3),(-1,-1,3,-1),(-1,3,-1,-1),(3,-1,-1,-1)$．
证法二
用 $P$ 表示 $x_1,x_2,x_3,x_4$，则每个方程具有形式（由解法一知 $P\ne 0$）$x_i+\dfrac{P}{x_i}=2(i=1,2,3,4)$ 且 $x_i=1\pm\sqrt{1-P}(i=1,2,3,4)$ 易知有 $P\leqslant 1$．现讨论如下：
（1）$P=1$，则 $x_1=x_2=x_3=x_4=1$．
（2）$P<1$，且四根不全相同，下分三种情况讨论．
（$i$）$x_i(i=1,2,3,4)$ 中两个是 $1+\sqrt{1-P}$，另两个是 $1-\sqrt{1-P}$，则
$\begin{aligned}
P&=x_1x_2x_3x_4\\
&=(1+\sqrt{1-P})^2(1-\sqrt{1-P})^2\\
&=P^2
\end{aligned}$
于是 $P=1$，矛盾．
（$ii$）四数中三个是 $1+\sqrt{1-P}$，其余一个是 $1-\sqrt{1-P}$，则有
$\begin{aligned}
P&=x_1x_2x_3x_4\\
&=(1+\sqrt{1-P})^3(1-\sqrt{1-P})\\
&=P(1+\sqrt{1-P})^2
\end{aligned}$
此处仍有 $P=1$，矛盾．
（$iii$）四数中一个是 $1+\sqrt{1-P}$，另三个是 $1-\sqrt{1-P}$，则有
$\begin{aligned}
P&=x_1x_2x_3x_4\\
&=(1+\sqrt{1-P})(1-\sqrt{1-P})^3\\
&=P(1-\sqrt{1-P})^2
\end{aligned}$
解得 $P=-3$，于是 $x_i$ 中一个是 $3$，另三个是 $-1$．