设 $u\text{,}v\text{,}w$ 为正实数，满足条件 $u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\geqslant 1$ 。试求 $u+v+w$ 的最小值。
【难度】
【出处】
2004第3届CGMO试题
【标注】
【答案】
$\sqrt{3}$
【解析】
由均值不等式和条件，知 $u\frac{v+w}{2}+v\frac{w+u}{2}+w\frac{u+v}{2}\geqslant u\sqrt{vw}+v\sqrt{wu}+w\sqrt{uv}\geqslant 1$，即 $uv+vw+wu\geqslant$ 。故有 ${{\left(u+v+w \right)}^{2}}\text{=}{{u}^{2}}+{{v}^{2}}+{{w}^{2}}+2\left( uv+vw+wu\right)\text{=}\frac{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}}{2}+\frac{{{v}^{2}}+{{w}^{2}}}{2}+\frac{{{u}^{2}}+{{w}^{2}}}{2}+2\left(uv+vw+wu \right)\geqslant 3\left( uv+vw+wu \right)\geqslant 3$ 因此
答案
解析
备注
