解方程 $\cos^{2}x+\cos^{2}2x+\cos^{2}3x=1$．（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
1962年第04届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将 $\cos^2x=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x),\cos^23x=\dfrac{1}{2}(1+\cos 6x)$ 代入已知方程，得 $\cos 2x+\cos 6x+2\cos ^22x=0$．
对前两项运用和差化积，得 $\cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0$．
再对括号里运用和差化积，得 $\cos x\cos 2x\cos 3x=0$．
由此解得
$\begin{aligned}
x_1&=k\pi+\dfrac{\pi}{2}\\
x_2&=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\\
x_3&=\dfrac{k\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}
\end{aligned}$
这里 $k$ 跑遍一切整数，易见第一解 $x_1$ 包含在第三个解 $x_3$ 中，可舍去．
对前两项运用和差化积，得 $\cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0$．
再对括号里运用和差化积，得 $\cos x\cos 2x\cos 3x=0$．
由此解得
$\begin{aligned}
x_1&=k\pi+\dfrac{\pi}{2}\\
x_2&=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\\
x_3&=\dfrac{k\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}
\end{aligned}$
这里 $k$ 跑遍一切整数，易见第一解 $x_1$ 包含在第三个解 $x_3$ 中，可舍去．
答案
解析
备注
