在实数范围内解方程：
（$a$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}$；
（$b$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$；
（$c$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$．
（罗马尼亚）
（$a$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}$；
（$b$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$；
（$c$）$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$．
（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
1959年第01届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
易知 $x\geqslant\dfrac{1}{2}$，又有 $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{2x-1}+1|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-1}+1),\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{2x-1}-1|$．
易知
$|\sqrt{2x-1}-1|=1-\sqrt{2x-1},\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$
$|\sqrt{2x-1}-1|=\sqrt{2x-1}-1,1\leqslant x$
今令 $y=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-1}+1+|\sqrt{2x-1}-1|)$
对于 $\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$，有 $y=\sqrt{2}$；
而对于 $1\leqslant x$，有 $y=\sqrt{2}\sqrt{2x-1}(\geqslant \sqrt{2})$．
于是本题的结果为
（$a$）$\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$，；
（$b$）无解；
（$c$）$x=\dfrac{3}{2}$．
证法二
设 $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=y$，并平方，化简，得 $x+|x-1|=\dfrac{y^2}{2},x\geqslant\dfrac{1}{2}$．
或等价于
$1=\dfrac{y^2}{2},\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$
$2x-1=\dfrac{y^2}{2},1\leqslant x$
分别将 $y=\sqrt{2},1,2$ 代入上两式，可得结果，以下同证法一．
易知 $x\geqslant\dfrac{1}{2}$，又有 $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{2x-1}+1|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-1}+1),\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\sqrt{2x-1}-1|$．
易知
$|\sqrt{2x-1}-1|=1-\sqrt{2x-1},\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$
$|\sqrt{2x-1}-1|=\sqrt{2x-1}-1,1\leqslant x$
今令 $y=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-1}+1+|\sqrt{2x-1}-1|)$
对于 $\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$，有 $y=\sqrt{2}$；
而对于 $1\leqslant x$，有 $y=\sqrt{2}\sqrt{2x-1}(\geqslant \sqrt{2})$．
于是本题的结果为
（$a$）$\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$，；
（$b$）无解；
（$c$）$x=\dfrac{3}{2}$．
证法二
设 $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=y$，并平方，化简，得 $x+|x-1|=\dfrac{y^2}{2},x\geqslant\dfrac{1}{2}$．
或等价于
$1=\dfrac{y^2}{2},\dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant 1$
$2x-1=\dfrac{y^2}{2},1\leqslant x$
分别将 $y=\sqrt{2},1,2$ 代入上两式，可得结果，以下同证法一．
答案
解析
备注
