1963年第05届IMO试题

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  二试代数部分

略

将五个方程相加，得 $(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)(y-2)=0$．
从而有 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0$ 或 $y=2$．
若 $y=2$，由 ② + ③，得 $x_1+x_4=x_2+x_3$，
又由 ⑤ 知 $x_1+x_4=2x_5$，
于是 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5x_5$，
同样可得 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5x_i(i=1,2,3,4)$
因此 $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=$ 任意实数均是方程组的解．
如果 $y\ne 2$，情况如下
① - ④ 得 $x_2-x_3=y(x_1-x_4)$，
① 代入 ⑤ 得 $x_1+x_4=y(yx_1-x_2)$
此二式与 ②，③ 联立，消去 $x_4$，得
$\begin{cases}
yx_1-x_2+x_3-y^2x_3+yx_2=0\\
(1-y^2)x_1+yx_2+yx_3-x_2=0\\
x_1+x_3=yx_2
\end{cases}$
再用最后一式消去 $x_3$，得
$\begin{cases}
yx_1+(y-1)x_2+(1-y^2)(yx_2-x_1)=0\\
(1-y^2)x_1+(y-1)x_2+y(yx_2-x_1)=0
\end{cases}$
整理，得
$\begin{cases}
(y^2+y-1)x_1+(-y^3+2y-1)x_2=0\\
(1-y-y^2)x_1+(y^2+y-1)x_2=0
\end{cases}$
因 $-y^3+2y-1=(y^2+y-1)(1-y)$，上面两个方程可写成
$\begin{cases}
(y^2+y-1)[x_1+(1-y)x_2]=0\\
(y^2+y-1)(x_2-x_1)=0
\end{cases}$
如果 $y^+y-1\ne 0$，则 $x_1=x_2$，且 $(2-y)x_1=0$．
因假设 $y\ne 2$，推得 $x_1=x_2=0$，易知已能推出 $x_3=x_4=x_5=0$，这是平凡解．
如 $y^2+y-1=0$，则 $x_1$ 和 $x_2$ 可取任意值．$x_3,x_4,x_5$ 则由 $x_1,x_2,y$ 表示如下：
$\begin{aligned}
x_3&=yx_2-x_1\\
x_4=yx_3-x_2=&(y^2-1)x_2-yx_1=-yx_2-yx_1\\
x_5&=yx_1-x_2
\end{aligned}$
其中 $y=\dfrac{1}{2}(-1\pm\sqrt{5})$．