数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 定义如下：${{a}_{1}}\text{=}2\text{,}{{a}_{n+1}}\text{=}{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n}}+1\text{,}n\text{=1,2,}\cdots $ 。证明：$1-\frac{1}{{{2003}^{2003}}}\text{}\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{2003}}}\text{}1$
【难度】
【出处】
2003第2届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设得 ${{a}_{n+1}}-1\text{=}{{a}_{n}}\left( {{a}_{n}}-1\right)$ 。所以，$\frac{1}{{{a}_{n-1}}-1}\text{=}\frac{1}{{{a}_{n}}-1}-\frac{1}{{{a}_{n}}}$ 。所以 $\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots+\frac{1}{{{a}_{2003}}}\text{=}\left(\frac{1}{{{a}_{1}}-1}-\frac{1}{{{a}_{2}}-1} \right)+\left(\frac{1}{{{a}_{2}}-1}+\frac{1}{{{a}_{3}}-1} \right)+\cdots +\left(\frac{1}{{{a}_{2003}}-1}+\frac{1}{{{a}_{2006}}-1}\right)\text{=}\frac{1}{{{a}_{1}}-1}-\frac{1}{{{a}_{2004}}-1}\text{=}1-\frac{1}{{{a}_{2004}}-1}$ 易知数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 是严格递增的，${{a}_{2004}}\text{}1$，故 $\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots+\frac{1}{{{a}_{2003}}}\text{}1$ 。为了证明不等式左边成立，只要证明 ${{a}_{2004}}-1>{{2003}^{2003}}$ 。由已知用归纳法可得 ${{a}_{n+1}}\text{=}{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}\cdots{{a}_{1}}+1$，及 ${{a}_{n}}{{a}_{n-1}}\cdots {{a}_{1}}>{{n}^{n}}\text{,}n\ge1$ 。从而结论成立。
答案
解析
备注
