试求出所有的正整数 $k$，使得对任意满足不等式 $k\left( ab+bc+ca \right)>5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ 的正数 $a\text{,}b\text{,c}$，一定存在三边长为 $a\text{,}b\text{,}c$ 的三角形。
【难度】
【出处】
2002第1届CGMO试题
【标注】
【答案】
$c<a+b$
【解析】
解法 $1$：因为 ${{\left(a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\geqslant 0$，所以 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\geqslant ab+bc+ca$，可知 $k>5$ 。因为 $k$ 为正整数，$k\geqslant 6$ 。由于不存在边长分别为 $1\text{,}1\text{,}2$ 的三角形，依题设，有 $k\left(1\times 1+1\times 2+1\times 2 \right)\leqslant 5\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}\right)\Rightarrow k\leqslant 6$ 。下说明 $k\text{=}6$ 满足题设要求。不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $6\left(ab+bc+ca \right)>5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$，即 $5{{c}^{2}}-6\left(a+b \right)c+5{{a}^{2}}+5{{b}^{2}}-6ab<0$，$\Delta \text{=}{{\left[6\left( a+b \right) \right]}^{2}}-4\times 5\left( 5{{a}^{2}}+5{{b}^{2}}-6ab\right)\text{=}64\left[ -\left( a-{{b}^{2}} \right)+ab \right]\leqslant 64ab\le64{{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}\text{=}16{{\left( a+b \right)}^{2}}$ 因此，$c<\frac{6\left(a+b \right)+\sqrt{\Delta }}{10}\leqslant \frac{6\left( a+b \right)+4\left( a+b\right)}{10}\text{=}a+b$ 。所以以 $a\text{,}b\text{,c}$ 为长度可构成三角形。 解法2：因为 ${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c\right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\geqslant 0$，所以 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\geqslant ab+bc+ca$，可知 $k\text{}5$ 。因为 $k$ 为正整数，$k\geqslant 6$ 。由于不存在边长分别为 $1\text{,}1\text{,}2$ 的三角形，依题设，有 $k\left(1\times 1+1\times 2+1\times 2 \right)\leqslant 5\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}\right)\Rightarrow k\leqslant 6$ 。下说明 $k\text{=}6$ 满足题设要求。构造函数 $f\left( x \right)\text{=}5{{x}^{2}}-6\left(a+b \right)x+5{{a}^{2}}+5{{b}^{2}}-6ab$，则 $f\left( c \right)<0$ 。因 $f\left(x \right)$ 在区间 $\left[ \frac{3}{5}\left( a+b \right)\text{,}+\infty \right)$ 递增，且 $f\left( a+b\right)\text{=}5{{\left( a+b \right)}^{2}}-6\left( a+b \right)\left( a+b\right)+5{{a}^{2}}+5{{b}^{2}}-6ab\text{=}4{{\left( a-b \right)}^{2}}\geqslant 0$，故 $c<a+b$
答案
解析
备注
