求方程 $\sqrt{{{x}^{2}}-p}+2\sqrt{{{x}^{2}}-1}=x$ 的全部实数解，其中 $p$ 为实参数．（捷克斯洛伐克）
【难度】
【出处】
1963年第05届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $p<0$，则 $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}\geqslant \sqrt{x^2-p}>x$，此时原方程无解，故可设 $p\geqslant 0$，并且 $x\geqslant 1,x\geqslant p$．
现将方程写成形式 $2\sqrt{x^2-1}=x-\sqrt{x^2-p}$，
平方后整理得 $2x^2+p-4=-2x\sqrt{x^2-p}$．
再平方整理得 $8(2-p)x^2=(p-4)^2$．
易知 $p$ 必须满足 $0\leqslant p<2$．并且此时只可能有解 $x=\dfrac{4-p}{\sqrt{8(2-p)}}$．
代入原方程并化简，得 $|3p-4|=4-3p$，于是有 $p\leqslant \dfrac{4}{3}$．
综上所述，当且仅当 $0\leqslant p\leqslant \dfrac{4}{3}$ 时方程有唯一解 $x=\dfrac{4-p}{\sqrt{8(2-p)}}$．
现将方程写成形式 $2\sqrt{x^2-1}=x-\sqrt{x^2-p}$，
平方后整理得 $2x^2+p-4=-2x\sqrt{x^2-p}$．
再平方整理得 $8(2-p)x^2=(p-4)^2$．
易知 $p$ 必须满足 $0\leqslant p<2$．并且此时只可能有解 $x=\dfrac{4-p}{\sqrt{8(2-p)}}$．
代入原方程并化简，得 $|3p-4|=4-3p$，于是有 $p\leqslant \dfrac{4}{3}$．
综上所述，当且仅当 $0\leqslant p\leqslant \dfrac{4}{3}$ 时方程有唯一解 $x=\dfrac{4-p}{\sqrt{8(2-p)}}$．
答案
解析
备注
