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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15513 59656f9caf3c000009358abf 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $a_{n}$ 满足 $a_{0}=1$，$a_{1}=5$，$a_{n}=\dfrac{2a_{n-1}^{2}-3a_{n-1}-9}{2a_{n-2}},n\geqslant 2$．用数学归纳法证明：$a_{n}=2^{n+2}-3$． 2022-04-17 19:19:14
15506 5966eebc030398000978b2fe 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=a$，$a_{n+1}=1+\dfrac {1}{a_1+a_2+\cdots+a_n-1}$，$n \geqslant 1$，求所有实数 $a$，使得 $0<a_n<1$，$n\geqslant 2$． 2022-04-17 19:15:14
15503 5966f284030398000abf153f 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_{n+2}=2x_{x+1}+x_n$，$x_1=2$，$x_2=6$；数列 $\{y_n\}$ 满足：$y_{n+2}= y_{x+1}+2y_n$，$y_1=3$，$y_2=9$．
求证：存在正整数 $n_0$，使得对任意 $n>n_0$，都有 $x_n>y_n$．		 2022-04-17 19:13:14
15502 5966fdc0030398000978b323 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac {\pi}{6}$，$a_{n+1}=\arctan (\sec a_n) (n \in \mathbb N^*)$．求正整数 $m$，使得$$\sin a_1 \cdot \sin a_2 \cdots \sin a_m=\dfrac {1}{100}.$$ 2022-04-17 19:13:14
15497 59672db6030398000abf15a0 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 中的相邻两项 $a_{2k-1},a_{2k}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-(3k+2^k)x+3k\cdot 2^k=0$ 的两个根． 2022-04-17 19:12:14
15495 59685e4222d14000072f84eb 高中 解答题 自招竞赛 在一圆周上有 $k$ 个数，$k\geqslant 3$．若其中任意三个相邻数，依顺时针方向分别设为 $a,b,c$，恒有 $b=\alpha a+\beta c$，这里 $\alpha \geqslant 0$，$\beta \geqslant 0$，$\alpha +\beta =1$．证明这 $k$ 个数必互相相等． 2022-04-17 19:10:14
15493 596867c222d14000091d71e7 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha,\beta$ 为实数，$n$ 为正整数，且 $0\leqslant \beta\leqslant \alpha\leqslant \dfrac{\pi}{4}$，$n>1$． 2022-04-17 19:09:14
15490 596875db22d14000091d720c 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，对于满足 $a_1^2+a_{n+1}^2\leqslant\dfrac25$ 的等差数列 $\{a_n\}$，试证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=n+1}^{2n+1}{a_i}\leqslant n+1$． 2022-04-17 19:07:14
15485 596883ad22d140000ac07f21 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A$ 是所有十进制表示中的数码不包含 $2,0,1,6$ 的正整数 $x$ 构成的集合．证明：集合 $A$ 中的所有元素的倒数之和 $\displaystyle \sum\limits_{x\in A}\dfrac{1}{x}<3$． 2022-04-17 19:04:14
15481 596b202222d1400008181694 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n(n\in\mathbb N^*)$，且 $a_2=6$． 2022-04-17 19:02:14
15475 596c116622d140000ac07fb5 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\alpha$ 为实数且 $\sin\alpha+\cos\alpha$ 为有理数，求证数列 $\{\cos^n\alpha+\sin^n\alpha\mid n\in\mathbb N^*\}$ 各项均为有理数． 2022-04-17 19:00:14
15472 596c13c222d14000081816e5 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 $n$，都有$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3.$$ 2022-04-17 19:58:13
15471 596c34ea22d14000091d7367 高中 解答题 自招竞赛 设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．已知$$a_k=\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{k^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{(k+1)^2-1},k=1,2,\cdots,$$试求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\left(\left[\dfrac{1}{a_k}\right]+\left[\dfrac{1}{a_k}+\dfrac12\right]\right)}$． 2022-04-17 19:58:13
15470 596c6a6722d14000091d73ca 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$．88若 $0<a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant \cdots \leqslant a_n$，$a_1a_2a_3\cdots a_n\leqslant x$，求证：$a_1a_2a_3\cdots a_{n-1}\leqslant x^{1-\frac 1n}$． 2022-04-17 19:58:13
15458 596db03177128b00085bda5b 高中 解答题 自招竞赛 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“$Z$ 扩展”．已知数列 $1,2,3$ 第 $1$ 次“$Z$ 扩展”后得到数列 $1,3,2,5,3$；第 $2$ 次“$Z$ 扩展”后所得数列 $1,4,3,5,2,7,5,8,3$；$\cdots$．设第 $n$ 次“$Z$ 扩展”后所得数列为 $1,x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},3$，并记 $a_{n}=1+x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}+3$． 2022-04-17 19:51:13
15454 5970240edbbeff0009d29e90 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=4$，$a_{n+1}a_n+6a_{n+1}-4a_n-8=0$，记 $b_n=\dfrac 6{a_n-2}$，$n\in \mathbb N^*$． 2022-04-17 19:49:13
15433 597995410a41cd0007247136 高中 解答题 自招竞赛 把正整数数列 $1,2,3,\cdots$ 中含有数字 $9$ 的项都删除掉，剩下的项按原次序组成一个数列，记作 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$．证明：$$\dfrac {1}{a_1}+\dfrac {1}{a_2}+\dfrac {1}{a_3}+\cdots+\dfrac {1}{a_n}<80.$$ 2022-04-17 19:39:13
15426 597ab5bd0a41cd0007247190 高中 解答题 自招竞赛 对数列 $\{a_n\}$，规定 $\{\Delta a_n\}$ 为数列 $\{a_n\}$ 的一阶差分数列，其中 $\Delta a_n=a_{n+1}-a_n,n\in\mathbb N^*$，对正整数 $k$，规定 $\{\Delta^k a_n\}$ 为 $\{a_n\}$ 的 $k$ 阶差分数列．其中 $\Delta^ka_n=\Delta^{k-1}a_{n+1}-\Delta^{k-1}a_n=\Delta(\Delta^{k-1}a_n)$． 2022-04-17 19:34:13
15423 597ad3320a41cd00072471b0 高中 解答题 自招竞赛 设正整数的无穷数列 $\{a_n\}$（$n \in \mathbb N^*$）满足：$a_4=4$，$a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=1$（$n \geqslant 2$），求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:32:13
15421 597addd4923066000751bbb9 高中 解答题 自招竞赛 求具有下述性质的最小正整数 $n$：存在一个 $n+1$ 项的数列 $a_0,a_1,\cdots,a_n$，满足 $a_0=0,a_n=2008$，且 $|a_i-a_{i-1}|=i^2,i=1,2,\cdots,n$． 2022-04-17 19:31:13
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