设数列 $\{a_n\}$ 定义为 $a_1=a$，$a_{n+1}=1+\dfrac {1}{a_1+a_2+\cdots+a_n-1}$，$n \geqslant 1$，求所有实数 $a$，使得 $0<a_n<1$，$n\geqslant 2$．
【难度】
【出处】
2014年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$a<0$
【解析】
由题意得$$\begin{split}a_{n+1}= \dfrac {a_1+a_2+\cdots+a_n }{a_1+a_2+\cdots+a_n-1},\\a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}=\dfrac {a_n}{a_n-1}, \end{split}$$所以$$a_{n+1}=\dfrac {a_n^2}{a_n^2-a_n+1}=\dfrac {a_n^2}{\left(a_n-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34},n \geqslant 2.$$又$$a_1=a , a_2=\dfrac {a_1}{a_1-1},$$从而当 $a_1=a\neq 0$ 时，$$a_n>0 , n\geqslant 3,$$且当$$0<a_2=\dfrac {a}{a-1}<1,$$即当 $a<0$ 时，$$a_{n+1}-a_n<0,n\geqslant 2.$$于是 $0<a_n<1$，$n\geqslant 2$．
因此 $a<0$．
因此 $a<0$．
答案
解析
备注
