题目 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 $n$，都有$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3.$$ 问题1 当 $n=3$ 时，求所有满足条件的数列 $a_1,a_2,a_3$； 答案1 $1,2,3$ 或 $1,2,-2$ 或 $1,-1,1$ 解析1 当 $n=1$ 时，$$a_1^2=a_1^3,$$由 $a_1\ne0$，得 $a_1=1$．<br/>当 $n=2$ 时，$$(1+a_2)^2=1+a_2^3,$$由 $a_2\ne0$，得 $a_2=2$ 或 $a_2=-1$．<br/>当 $n=3$ 时，$$(1+a_2+a_3)^2=1+a_2^3+a_3^3,$$若 $a_2=2$，得 $a_3=3$ 或 $a_3=-2$；<br/>若 $a_2=-1$，得 $a_3=1$．<br/>综上，满足条件的数列有 $3$ 个：$1,2,3$ 或 $1,2,-2$ 或 $1,-1,1$． 备注1 问题2 是否存在满足条件的无穷数列 $\{a_n\}$，使得 $a_{2013}=-2012$？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 答案2 存在，$a_n=\begin{cases}n,&1\leqslant n\leqslant2012,\\2012(-1)^n,&n\geqslant2013\end{cases}$ 解析2 令 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，由题意得$$S_n^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3(n\in\mathbb N^*),$$从而$$(S_n+a_{n+1})^2=a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3+a_{n+1}^3.$$两式相减，结合 $a_{n+1}\ne0$，得$$2S_n=a_{n+1}^2-a_{n+1}.$$当 $n=1$ 时，由 $(1)$ 知，$a_1=1$．<br/>当 $n\geqslant2$ 时，$$2a_n=2(S_n-S_{n-1})=(a_{n+1}^2-a_{n+1})-(a_n^2-a_n),$$即$$(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n-1)=0,$$所以 $a_{n+1}=-a_n$ 或 $a_{n+1}=a_n+1$．<br/>又因为$$a_1=1 , a_{2013}=-2012,$$所以存在如下形式的无穷数列满足条件：$$a_n=\begin{cases}n,&1\leqslant n\leqslant2012,\\2012(-1)^n,&n\geqslant2013.\end{cases}$$ 备注2