已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n(n\in\mathbb N^*)$，且 $a_2=6$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=n(2n-1),n\in\mathbb N^*$解析由已知 $\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n(n\in\mathbb N^*)$，可得$$(n-1)a_{n+1}-(n+1)a_n=-(n+1),$$所以当 $n\geqslant2,n\in\mathbb N^*$ 时，$$\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)n}-\dfrac{a_n}{n(n-1)}=-\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac1n\right),$$从而有$$\begin{split}\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)n}-\dfrac{a_2}{2}&=-\left(1-\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac1n\right)\\&=\dfrac1n-1.\end{split}$$又 $a_2=6$，所以当 $n\geqslant2$ 时，$$a_{n+1}=(n+1)(2n+1),$$即当 $n\geqslant3$ 时$$a_n=n(2n-1).$$又可验证 $a_1=1$ 符合上式，故 $a_n=n(2n-1),n\in\mathbb N^*$．
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设 $b_n=\dfrac{a_n}{n+c}(n\in\mathbb N^*)$，$c$ 为非零常数，若数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，记 $c_n=\dfrac{b_n}{2^n}$，$S_n=c_1+c_2+\cdots+c_n$，求 $S_n$．标注答案$S_n=4-\dfrac{n+2}{2^{n-1}}$解析由 $b_n=\dfrac{a_n}{n+c}=\dfrac{n(2n-1)}{n+c}$ 知$$b_1=\dfrac{1}{1+c},b_2=\dfrac{6}{c+2},b_3=\dfrac{15}{3+c},$$又由于数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，所以$$2b_2=b_1+b_3,$$即$$\dfrac{12}{2+c}=\dfrac{1}{1+c}+\dfrac{15}{3+c},$$于是 $c=-\dfrac12$，从而 $b_n=2n$，进一步得$$c_n=\dfrac{b_n}{2^n}=\dfrac{2n}{2^n}=\dfrac{n}{2^{n-1}},$$因此有\[\begin{split}S_n&=1+\dfrac{2}{2^1}+\dfrac{3}{2^2}+\cdots+\dfrac{n-1}{2^{n-2}}+\dfrac{n}{2^{n-1}},\\2S_n&=2+\dfrac{2}{2^0}+\dfrac{3}{2^1}+\cdots+\dfrac{n-1}{2^{n-3}}+\dfrac{n}{2^{n-2}},\end{split}\]两式相减，得$$S_n=3+\dfrac12+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^{n-2}}-\dfrac{n}{2^{n-1}}=4-\dfrac{n+2}{2^{n-1}}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
