数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac {\pi}{6}$，$a_{n+1}=\arctan (\sec a_n) (n \in \mathbb N^*)$．求正整数 $m$，使得$$\sin a_1 \cdot \sin a_2 \cdots \sin a_m=\dfrac {1}{100}.$$
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$m=3333$
【解析】
由已知条件可知，对任意正整数 $n$，$$a_{n+1} \in \left(-\dfrac {\pi}{2},\dfrac {\pi}{2}\right),$$且$$\tan a_{n+1}=\sec a_n, \quad\cdots \cdots \text{ ① }$$由于 $\sec a_n>0$，故$$a_{n+1} \in \left(0,\dfrac {\pi}{2}\right).$$由 ① 得，$$\tan ^2a_{n+1}=\sec ^2 a_n=1+\tan ^2a_n,$$故$$\tan ^2a_n=n-1+\tan ^2a_1=n-1+\dfrac 13=\dfrac {3n-2}{3},$$即$$\tan a_n=\sqrt {\dfrac {3n-2}{3}},$$因此\[\begin{split}\sin a_1 \cdot \sin a_2 \cdots \sin a_m&=\dfrac {\tan a_1}{\sec a_1}\cdot \dfrac {\tan a_2}{\sec a_2}\cdots \dfrac {\tan a_m}{\sec a_m}\\&= \dfrac {\tan a_1}{\tan a_2}\cdot \dfrac {\tan a_2}{\tan a_3}\cdots \dfrac {\tan a_m}{\tan a_{m+1}}\\&=\dfrac {\tan a_1}{\tan a_{m+1}}=\sqrt {\dfrac {1}{3m+1}},\end{split}\]由$$\sqrt {\dfrac {1}{3m+1}}=\dfrac {1}{100},$$得 $m=3333$．
答案
解析
备注
