2014年湖南省高中数学竞赛

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  数列不等式

略

因为递推式 $x_{n+2}=2x_{x+1}+x_n$ 的特征方程为$$x^2-2x-1=0,$$解得 $x=1\pm \sqrt 2$，所以可设$$x_n=\lambda_1(1+\sqrt 2)^n+\lambda_2(1-\sqrt 2)^n,$$由 $x_1=2$，$x_2=6$，得$$\begin{cases} 2=(1+\sqrt 2)\lambda_1+(1-\sqrt 2)\lambda_2,\\ 6=(1+\sqrt 2)^2\lambda_1+(1-\sqrt 2)^2\lambda_2,\end{cases}$$由此解得$$\lambda_1=\lambda_2=1,$$故$$x_n=(1+\sqrt 2)^n+ (1-\sqrt 2)^n.$$同理，递推式 $y_{n+2}= y_{n+1}+2y_n$ 的特征方程为$$y^2-y-2=0,$$解得 $y_1=2$，$y_2=-1$，所以可设$$y_n=\mu_12^n+\mu_2(-1)^n.$$由 $y_1=3$，$y_2=9$，得$$\begin{cases} 3=2\mu_1 - \mu_2,\\ 9=4 \mu_1+\mu_2,\end{cases}$$由此解得$$\mu_1=2,\mu_2=1,$$故$$y_n=2^{n+1}+(-1)^n,$$所以$$x_n-y_n=(1+\sqrt 2)^n+ (1-\sqrt 2)^n-2^{n+1}-(-1)^n.$$注意到$$\dfrac {x_n-y_n}{(1+\sqrt 2)^n}=1+\left(\dfrac {1-\sqrt 2}{1+\sqrt 2}\right)^n-2\left(\dfrac { 2}{1+\sqrt 2}\right)^n-\left(\dfrac {-1}{1+\sqrt 2}\right)^n,$$令$$\left|\dfrac {1-\sqrt 2}{1+\sqrt 2}\right|^n=\left(\dfrac { \sqrt 2-1}{1+\sqrt 2}\right)^n <\dfrac 13,$$得$$n>\log_{\frac {\sqrt 2-1}{1+\sqrt 2}}\dfrac 13.$$令$$2\left(\dfrac { 2}{1+\sqrt 2}\right)^n<\dfrac 13,$$得$$n>\log_{\frac {2}{1+\sqrt 2}}\dfrac 16.$$令$$\left|\dfrac {-1}{1+\sqrt 2}\right|^n=\left(\dfrac { 1}{1+\sqrt 2}\right)^n <\dfrac 13,$$得$$n>\log_{\frac {1}{1+\sqrt 2}}\dfrac 13.$$取$$n_0=\max \left\{\left[\log_{\frac {\sqrt 2-1}{1+\sqrt 2}}\dfrac 13\right],\left[\log_{\frac {2}{1+\sqrt 2}}\dfrac 16\right],\left[\log_{\frac {1}{1+\sqrt 2}}\dfrac 13\right]\right\}$$（这里 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则当 $n>n_0$ 时，\[\begin{split} \left(\dfrac {1- \sqrt 2 }{1+\sqrt 2}\right)^n&>-\dfrac 13,\\ -2\left(\dfrac { 2 }{1+\sqrt 2}\right)^n&>-\dfrac 13,\\ -\left(\dfrac {-1 }{1+\sqrt 2}\right)^n&>-\dfrac 13,\end{split}\]上述 $3$ 式同时成立，即\[\begin{split}\dfrac {x_n-y_n}{(1+\sqrt 2)^n}&=1+\left(\dfrac {1-\sqrt 2}{1+\sqrt 2}\right)^n-2\left(\dfrac { 2}{1+\sqrt 2}\right)^n-\left(\dfrac {-1}{1+\sqrt 2}\right)^n\\&>1-\dfrac 13-\dfrac 13-\dfrac 13=0.\end{split}\]由此得 $x_n>y_n$．