在一圆周上有 $k$ 个数，$k\geqslant 3$．若其中任意三个相邻数，依顺时针方向分别设为 $a,b,c$，恒有 $b=\alpha a+\beta c$，这里 $\alpha \geqslant 0$，$\beta \geqslant 0$，$\alpha +\beta =1$．证明这 $k$ 个数必互相相等．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
任取其中一数，记为 $a_0$，其余各数依顺时针方向分别记为 $a_1,a_2,\cdots ,a_{k-1}$．
对任意的正整数 $n\geqslant k$，$$n=p\cdot k+i,$$其中 $p$ 是正整数，$i$ 是整数，且 $0\leqslant i\leqslant k-1$，令 $a_n=a_i$．
由题意，对任意正整数 $n$，有$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n+1}.$$若 $\alpha \cdot \beta =0$，结论显然成立．
否则，有$$\beta (a_{n+1}-a_n)=\alpha (a_n-a_{n-1}).$$令 $b_n=a_{n+1}-a_n$，则 $b_n=\dfrac{\alpha }{\beta}b_{n-1}$．
设 $a_1-a_0=b_0=a$，则 $b_n=a\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^n$．
当 $n=k$ 时，有$$a\left(\dfrac {\alpha}{\beta}\right)^k=b_k=a_{k+1}-a_k=a_1-a_0=a.$$由此可得 $a=0$ 或 $\dfrac{\alpha}{\beta}=1$．
若 $a=0$，即 $b_n=0$，$n=0,1,2,\cdots $，结论显然成立．
若有 $\dfrac{\alpha}{\beta}=1$，即 $b_n=a$，$n=0,1,2,\cdots $，知数列 $\{a_n\}$ 是以 $a_0$ 为首项，$a$ 为公差的等差数列，则有$$a_0=a_k=a_0+ka,$$即 $a=0$，结论得证．
对任意的正整数 $n\geqslant k$，$$n=p\cdot k+i,$$其中 $p$ 是正整数，$i$ 是整数，且 $0\leqslant i\leqslant k-1$，令 $a_n=a_i$．
由题意，对任意正整数 $n$，有$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n+1}.$$若 $\alpha \cdot \beta =0$，结论显然成立．
否则，有$$\beta (a_{n+1}-a_n)=\alpha (a_n-a_{n-1}).$$令 $b_n=a_{n+1}-a_n$，则 $b_n=\dfrac{\alpha }{\beta}b_{n-1}$．
设 $a_1-a_0=b_0=a$，则 $b_n=a\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^n$．
当 $n=k$ 时，有$$a\left(\dfrac {\alpha}{\beta}\right)^k=b_k=a_{k+1}-a_k=a_1-a_0=a.$$由此可得 $a=0$ 或 $\dfrac{\alpha}{\beta}=1$．
若 $a=0$，即 $b_n=0$，$n=0,1,2,\cdots $，结论显然成立．
若有 $\dfrac{\alpha}{\beta}=1$，即 $b_n=a$，$n=0,1,2,\cdots $，知数列 $\{a_n\}$ 是以 $a_0$ 为首项，$a$ 为公差的等差数列，则有$$a_0=a_k=a_0+ka,$$即 $a=0$，结论得证．
答案
解析
备注
