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已知数列 $a_{n}$ 满足 $a_{0}=1$，$a_{1}=5$，$a_{n}=\dfrac{2a_{n-1}^{2}-3a_{n-1}-9}{2a_{n-2}},n\geqslant 2$．用数学归纳法证明：$a_{n}=2^{n+2}-3$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    数列
    >
    数列通项
【答案】
略
【解析】
归纳基础因为$$a_{0}=2^{2}-3 , a_{1}=2^{3}-3,$$所以 $a_{n}=2^{n+2}-3$ 对 $n=0,1$ 成立．
递推证明当 $n\geqslant 2$ 时，假设$$a_{n-2}=2^{n}-3 , a_{n-1}=2^{n+1}-3.$$下证 $a_{n}=2^{n+2}-3$．
由递推公式，有\[\begin{split}a_{n}&=\dfrac{2a_{n-1}^{2}-3a_{n-1}-9}{2a_{n-2}}\\&=\dfrac{2(2^{n+1}-3)^{2}-3(2^{n+1}-3)-9}{2(2^{n-3}}\\&=\dfrac{4\cdot 2^{2n}-15\cdot 2^{n}+9}{2(2^{n-3})}\\&=4\cdot 2^{n}-3.\end{split}\]因此，$a_{n}=2^{n+2}-3$ 对一切 $n\geqslant 0$ 都成立．
答案 解析 备注
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