在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“$Z$ 扩展”．已知数列 $1,2,3$ 第 $1$ 次“$Z$ 扩展”后得到数列 $1,3,2,5,3$；第 $2$ 次“$Z$ 扩展”后所得数列 $1,4,3,5,2,7,5,8,3$；$\cdots$．设第 $n$ 次“$Z$ 扩展”后所得数列为 $1,x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},3$，并记 $a_{n}=1+x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}+3$．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
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求 $a_1,a_2,a_3$ 的值；标注答案$a_{1}=14,a_{2}=38,a_{3}=110$解析\[\begin{split}a_{1}=&1+3+2+5+3=14,\\ a_{2}=&1+4+3+5+2+7+5+8+3=38,\\ a_{3}=&1+(1+4)+4+(4+3)+3+(3+5)+5+(5+2)+2\\&+(2+7)+7+(7+5)+5+(5+8)+8+(8+3)+3\\=&3(1+4+3+5+2+7+5+8+3)-1-3\\=&110.\end{split}\]
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若 $b_n=a_n-2$，证明数列 $\{b_n\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．标注答案证明略，$a_{n}=4\cdot 3^{n}+2$解析因为$$a_{n}=1+x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}+3,$$所以\[\begin{split}a_{n+1}&=1+(1+x_{1})+x_{1}+(x_{1}+x_{2})+x_{2}+\cdots +(x_{m-1}+x_{m})+x_{m}+(x_{m}+3)+3\\&=3(1+x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}+3)-1-3\\&=3a_{n}-4,\end{split}\]故$$b_{n+1}=a_{n+1}-2=3a_{n}-6=3b_{n}.$$又因为 $b_{1}=12\ne 0$，所以 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，故\[b_{n}=4\cdot 3^{n},\]从而 $a_{n}=4\cdot 3^{n}+2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
