已知 $\alpha$ 为实数且 $\sin\alpha+\cos\alpha$ 为有理数，求证数列 $\{\cos^n\alpha+\sin^n\alpha\mid n\in\mathbb N^*\}$ 各项均为有理数．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛新疆省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $C_n=\cos^n\alpha+\sin^n\alpha$，则\[\begin{split}C_n&=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\cos^{n-1}\alpha+\sin^{n-1}\alpha)-\sin\alpha\cos\alpha(\cos^{n-2}\alpha+\sin^{n-2}\alpha)\\&=(\sin\alpha+\cos\alpha)C_{n-1}-\sin\alpha\cos\alpha C_{n-2}(n\geqslant3).\end{split}\]又因为$$C_1=\sin\alpha+\cos\alpha , C_2=\sin^2\alpha+\cos\alpha^2=1,$$由题意知，$C_1$ 与 $C_2$ 均为有理数．
因为$$\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{C_1^2-1}{2},$$所以 $\sin\alpha\cos\alpha$ 为有理数，因此根据 $C_n$ 的递推公式，可知 $C_3$ 为有理数．
假设 $n=k$ 时，$C_k$ 和 $C_{k-1}$ 为有理数，则根据 $C_n$ 的递推公式，得 $C_{k+1}$ 为有理数．
因此对任意的 $n\in\mathbb N^*$，$C_n$ 为有理数．
因为$$\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{C_1^2-1}{2},$$所以 $\sin\alpha\cos\alpha$ 为有理数，因此根据 $C_n$ 的递推公式，可知 $C_3$ 为有理数．
假设 $n=k$ 时，$C_k$ 和 $C_{k-1}$ 为有理数，则根据 $C_n$ 的递推公式，得 $C_{k+1}$ 为有理数．
因此对任意的 $n\in\mathbb N^*$，$C_n$ 为有理数．
答案
解析
备注
