数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=4$，$a_{n+1}a_n+6a_{n+1}-4a_n-8=0$，记 $b_n=\dfrac 6{a_n-2}$，$n\in \mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；标注答案$b_n=4^n-1$解析由 $b_n=\dfrac 6{a_n-2}$，得 $a_n=\dfrac 6{b_n}+2$，代入$$a_{n+1}a_n+6a_{n+1}-4a_n-8=0,$$得$$b_{n+1}=4b_n+3,$$所以$$b_{n+1}+1=4(b_n+1).$$因为 $b_1+1=4$，所以$$b_n+1=4\cdot 4^{n-1}=4^n,$$故 $b_n=4^n-1$．
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求数列 $\{a_n\cdot b_n\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$．标注答案$\dfrac 23 \cdot 4^{n+1}+4n-\dfrac 83$解析因为 $a_n=\dfrac 6{b_n}+2$，所以$$a_n\cdot b_n=2b_n+6,$$故\[\begin{split}S_n&=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\\&=2(b_1+b_2+\cdots +b_n)+6n\\&=2(4+4^2+\cdots +4^n-n)+6n\\&=\dfrac{8(4^n-1)}{3}-2n+6n\\&=\dfrac 23 \cdot 4^{n+1}+4n-\dfrac 83.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
